संयुग्म द्विपद: इसे कैसे हल करें, उदाहरण, अभ्यास - गणित - 2025

एक अन्य द्विपद का एक संयुग्म द्विपद वह है जिसमें वे केवल ऑपरेशन के संकेत द्वारा विभेदित होते हैं। द्विपद, जैसा कि इसके नाम का अर्थ है, एक बीजीय संरचना है जिसमें दो शब्द शामिल हैं।

द्विपद के कुछ उदाहरण हैं: (a + b), (3m - n) और (5x - y)। और उनके संबंधित संयुग्मित द्विपद हैं: (a - b), (-3m - n) और (5x + y)। जैसा कि तुरंत देखा जा सकता है, अंतर संकेत में है।

चित्रा 1. एक द्विपद और इसके संयुग्म द्विपद। उनके पास समान शब्द हैं, लेकिन साइन में भिन्न हैं। स्रोत: एफ। ज़पाटा

बीजगणित और विज्ञान में व्यापक रूप से उपयोग किए जाने वाले एक उल्लेखनीय उत्पाद में एक द्विपद गुणक परिणाम से गुणा किया जाता है। गुणन का परिणाम मूल द्विपद की शर्तों के वर्गों का घटाव है।

उदाहरण के लिए, (x - y) एक द्विपद है और इसका संयुग्म (x + y) है। तो, दो द्विपद का गुणनफल शब्दों के वर्गों का अंतर है:

(x - y)। (x + y) = x ² - y ²

आप एक संयुग्म द्विपद कैसे हल करते हैं?

संयुग्मित द्विपद का नियम निम्नलिखित है:

आवेदन के एक उदाहरण के रूप में, हम पिछले परिणाम को प्रदर्शित करके शुरू करेंगे, जो बीजीय राशि के संबंध में उत्पाद की वितरण संपत्ति का उपयोग करके किया जा सकता है।

(x - y) (x + y) = xx + xy - yx - yy

इन चरणों का पालन करके उपरोक्त गुणनफल प्राप्त किया गया:

- पहले द्विपद का पहला शब्द दूसरे के पहले शब्द से गुणा किया जाता है

- फिर पहले का पहला, दूसरे के दूसरे के लिए

- फिर दूसरे के पहले के बाद दूसरा

- अंत में दूसरे के दूसरे से पहले का दूसरा।

अब हम कम्यूटेटिव प्रॉपर्टी का उपयोग करके एक छोटा सा बदलाव करते हैं: yx = xy। यह इस तरह दिख रहा है:

(x - y) (x + y) = xx + xy - xy - yy

जैसा कि दो समान शब्द हैं, लेकिन विपरीत चिन्ह (रंग में रेखांकित और रेखांकित), उन्हें रद्द कर दिया गया है और इसे सरल बनाया गया है:

(x - y) (x + y) = xx - yy

अंत में, यह लागू किया जाता है कि किसी संख्या को अपने आप से गुणा करना वर्ग को बढ़ाने के बराबर है, ताकि xx = x ² और yy = y ^{2 भी हो} ।

इस तरह से यह दिखाया गया है कि पूर्ववर्ती अनुभाग में क्या इंगित किया गया था, कि एक राशि और उसके अंतर का उत्पाद वर्गों का अंतर है:

(x - y)। (x + y) = x ² - y ²

चित्रा 2. एक राशि बार इसका अंतर वर्गों का अंतर है। स्रोत: एफ। ज़पाटा

उदाहरण

- विभिन्न अभिव्यक्तियों के संयुग्मित द्विपद

उदाहरण 1

(Y ² - 3y) के संयुग्म का पता लगाएं ।

उत्तर: (y ² + 3y)

उदाहरण 2

(Y ² - 3y) और इसके संयुग्म के उत्पाद को प्राप्त करते हैं ।

उत्तर: (y ² - 3y) (y ² + 3y) = (y ²) ² - (3y) ² = y ⁴ - 3 ² y ² = y ⁴ - 9y ²

उदाहरण 3

उत्पाद विकसित करें (1 + 2 ए)। (2 ए -1)।

उत्तर: पिछली अभिव्यक्ति (2a + 1) (2a -1) के बराबर है, अर्थात यह एक द्विपद और उसके संयुग्म के उत्पाद से मेल खाती है।

यह ज्ञात है कि इसके संयुग्म द्विपद द्वारा एक द्विपद का उत्पाद द्विपद की शर्तों के वर्गों के अंतर के बराबर है:

(2a + 1) (2a -1) = (2a) ² - 1 ² = 4 a ² - 1

उदाहरण 4

उत्पाद (x + y + z) (x - y - z) को वर्गों के अंतर के रूप में लिखें।

उत्तर: हम उपरोक्त ट्राइनोमियल को संयुग्म द्विपद रूप में आत्मसात कर सकते हैं, जिससे कोष्ठक और चौकोर कोष्ठक का सावधानीपूर्वक उपयोग किया जा सकता है:

(x + y + z) = (x - y - z) =

इस तरह वर्गों के अंतर को लागू किया जा सकता है:

(x + y + z) = (x - y - z) =। = x ² - (y + z) ²

उदाहरण 5

उत्पाद को व्यक्त करें (m ² - m -1)। (M ² + m -1) वर्गों के अंतर के रूप में।

उत्तर: पिछली अभिव्यक्ति दो ट्रिनोमिअल्स का उत्पाद है। इसे पहले दो संयुग्मित द्विपद के उत्पाद के रूप में फिर से लिखा जाना चाहिए:

(एम ² - एम -1) (एम ² + एम -1) = (एम ² - 1 - एम) (एम ² -1 + एम) =।

हम इस तथ्य को लागू करते हैं कि इसके संयुग्म द्वारा द्विपद का गुणनफल इसकी शर्तों का द्विघात अंतर है, जैसा कि नीचे दिया गया है:

। = (एम ² -1) ² - एम ²

अभ्यास

हमेशा की तरह, आप सबसे सरल अभ्यास से शुरू करते हैं और फिर जटिलता के स्तर को बढ़ाते हैं।

- अभ्यास 1

उत्पाद के रूप में लिखें (9 - ²)।

उपाय

सबसे पहले, हम अभिव्यक्ति को वर्गों के अंतर के रूप में फिर से लिखते हैं, जो पहले समझाया गया था, उसे लागू करने के लिए। इस प्रकार:

(९ - ^{२ २}) = (३ ^२ - ^२)

अगला हम कारक, जो एक उत्पाद के रूप में वर्गों के इस अंतर को लिखने के बराबर है, जैसा कि कथन में अनुरोध किया गया है:

(९ - एक ^२) = (३ ^२ - एक ^२) = (३ + क) (३-क)

- व्यायाम २

कारक 16x ² - 9y ⁴ ।

उपाय

किसी एक्सप्रेशन को फैक्टर करने का मतलब है इसे प्रोडक्ट के रूप में लिखना। इस मामले में, वर्गों के अंतर को प्राप्त करने के लिए, पहले से अभिव्यक्ति को फिर से लिखना आवश्यक है।

ऐसा करना मुश्किल नहीं है, ध्यान से देखने के बाद से सभी कारक पूर्ण वर्ग हैं। उदाहरण के लिए 16 4 का वर्ग है, 9 का वर्ग 3 है, और ⁴ का वर्ग ^{2 है} और x ² का वर्ग x है:

16x ² - 9y ⁴ = 4 ² x ² - 3 ² y ⁴ = 4 ² x ² - 3 ² (y ²) ²

फिर हम वही लागू करते हैं जो हम पहले से जानते हैं: कि वर्गों का अंतर संयुग्मित द्विपद का उत्पाद है:

(4x) ² - (3 और ²) ² = (4x - 3 और ²)। (4x + 3 और ²)

- व्यायाम 3

द्विपद के एक उत्पाद के रूप में (- बी) लिखें

उपाय

उपरोक्त अंतर को वर्गों के अंतर के रूप में लिखा जाना चाहिए

(2a) ² - ()b) ²

फिर यह लागू किया जाता है कि वर्गों का अंतर संयुग्मित द्विपद का उत्पाद है

(√a - √b) (√a +)b)

- व्यायाम 4

संयुग्म द्विपद के उपयोगों में से एक बीजगणितीय अभिव्यक्तियों का युक्तिकरण है। इस प्रक्रिया में एक भिन्नात्मक अभिव्यक्ति के हर की जड़ों को समाप्त करना शामिल है, जो कई मामलों में संचालन को सुविधाजनक बनाता है। यह निम्नलिखित अभिव्यक्ति को युक्तिसंगत बनाने के लिए संयुग्म द्विपद का उपयोग करने का अनुरोध किया जाता है:

X (2-x) /

उपाय

पहली बात यह है कि भाजक के संयुग्म द्विपद की पहचान करें:।

अब हम संयुग्म द्विपद द्वारा मूल भाव के अंश और हर को गुणा करते हैं:

X (2-x) / {।)

पिछली अभिव्यक्ति के हर में हम एक योग के अंतर के उत्पाद को पहचानते हैं, जिसे हम पहले से जानते हैं द्विपद के वर्गों के अंतर से मेल खाती है:

X (2-x)। / {({3) ² - ² }

हर को सरल बनाना है:

X (2-x)। / = 2 (2-x)। / (1 - x)

अब हम अंश के साथ सौदा करते हैं, जिसके लिए हम योग के साथ उत्पाद की वितरण संपत्ति को लागू करेंगे:

X (2-x)। / (1 - x) = √ (6-3x) + 1 / (1 - x)

पिछली अभिव्यक्ति में हम इसके संयुग्म द्वारा द्विपद (2-x) के उत्पाद को पहचानते हैं, जो वर्गों के अंतर के बराबर उल्लेखनीय उत्पाद है। इस तरह, एक तर्कसंगत और सरलीकृत अभिव्यक्ति अंततः प्राप्त की जाती है:

/ (1 - x)

- व्यायाम 5

संयुग्म द्विपद के गुणों का उपयोग करते हुए, निम्नलिखित उत्पाद विकसित करें:

।

उपाय

4a ^{(2x + 6y)} - 9a ^{(2x - 6y)} = 4a ^(2x).a ^(6y) - 9a ^(2x).a ^(-6y) =.a ^(2x)

चौकस पाठक ने उस सामान्य कारक पर ध्यान दिया होगा जिसे रंग में हाइलाइट किया गया है।

संदर्भ

1. बाल्डोर, ए। 1991. बीजगणित। संपादकीय सांस्कृतिक वेनेजुएला एसए
2. गोंजालेज जे। संयुग्मित द्विपद अभ्यास। से पुनर्प्राप्त: academia.edu।
3. गणित शिक्षक एलेक्स। उल्लेखनीय उत्पाद। Youtube.com से पुनर्प्राप्त।
4. Math2me। संयुग्मित द्विपद / उल्लेखनीय उत्पाद। Youtube.com से पुनर्प्राप्त।
5. संयुग्मित द्विपद उत्पादों। से पुनर्प्राप्त: lms.colbachenlinea.mx।
6. Vitual। संयुग्मित द्विपद। से पुनर्प्राप्त: youtube.com।