- विभेदक का उपयोग करते हुए अनुमान
- क्या बेहतर सन्निकटन हैं?
- रणनीति
- सुप्तावस्था सन्निकटन अभ्यास
- पहला व्यायाम
- दूसरा व्यायाम
- तीसरा व्यायाम
- चौथा व्यायाम
- संदर्भ
गणित में एक सन्निकटन एक ऐसी संख्या है जो किसी चीज़ का सटीक मूल्य नहीं है, लेकिन इसके इतना करीब है कि इसे उतना ही उपयोगी माना जाता है जितना कि यह सटीक मान।
जब गणित में अनुमान लगाया जाता है, तो ऐसा इसलिए है क्योंकि मैन्युअल रूप से यह मुश्किल है (या कभी-कभी असंभव है) कि आप क्या चाहते हैं, इसका सटीक मूल्य पता करें।
सन्निकटन के साथ काम करते समय मुख्य उपकरण एक फ़ंक्शन का अंतर है।
एक फ़ंक्शन f का अंतर, जिसे xf (x) द्वारा निरूपित किया गया है, फ़ंक्शन के व्युत्पन्न से अधिक कुछ भी नहीं है स्वतंत्र चर में परिवर्तन, यानी (f (x) = f '(x) *.x।
कभी-कभी Sometimesf और.x के बजाय df और dx का उपयोग किया जाता है।
विभेदक का उपयोग करते हुए अनुमान
अंतर के माध्यम से एक अनुमान लगाने के लिए लागू किया गया सूत्र एक सीमा के रूप में एक फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की परिभाषा से ठीक से उत्पन्न होता है।
यह सूत्र द्वारा दिया गया है:
f (x) (f (x0) + f '(x0) * (x-x0) = f (x0) + f' (x0) * Δx।
यहाँ यह समझा जाता है कि =x = x-x0, इसलिए x = x0 + understoodx। इसका उपयोग करके सूत्र को फिर से लिखा जा सकता है
f (x0 + Δx) x f (x0) + f '(x0) * Δx।
यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि "x0" एक मनमाना मूल्य नहीं है, लेकिन एक मूल्य ऐसा है कि f (x0) आसानी से जाना जाता है; इसके अलावा, "f (x)" केवल वह मान है जिसे हम अनुमानित करना चाहते हैं।
क्या बेहतर सन्निकटन हैं?
इसका जवाब है हाँ। उपरोक्त "रैखिक सन्निकटन" नामक सन्निकटन का सबसे सरल है।
बेहतर गुणवत्ता वाले अनुमानों के लिए (जो त्रुटि कम है), "टेलर पॉलिनॉमिअल्स" नामक अधिक डेरिवेटिव के साथ बहुपद का उपयोग किया जाता है, साथ ही साथ अन्य संख्यात्मक तरीके जैसे न्यूटन-राफसन विधि दूसरों के बीच में हैं।
रणनीति
पालन करने की रणनीति है:
- सन्निकटन को पूरा करने के लिए एक उपयुक्त फ़ंक्शन f चुनें और मान «x» जैसे कि f (x) अनुमानित होने का मान है।
- एक मान "x0" चुनें, "x" के करीब, जैसे कि f (x0) की गणना करना आसान है।
- गणना Calculx = x-x0।
- फ़ंक्शन y f '(x0) के व्युत्पन्न की गणना करें।
- सूत्र में डेटा को प्रतिस्थापित करें।
सुप्तावस्था सन्निकटन अभ्यास
क्या जारी है में व्यायाम की एक श्रृंखला है जहां अंतर का उपयोग करके अनुमान लगाया जाता है।
पहला व्यायाम
लगभग √3।
उपाय
रणनीति के बाद, एक उपयुक्त कार्य चुनना होगा। इस स्थिति में, यह देखा जा सकता है कि चुनने के लिए कार्य f (x) =,x होना चाहिए और अनुमानित होने वाला मान f (3) =.3 है।
अब हमें "3" के करीब एक मान "x0" चुनना होगा जैसे कि f (x0) की गणना करना आसान है। यदि "x0 = 2" चुना जाता है, तो "x0" "3" के करीब है, लेकिन f (x0) = f (2) = is2 की गणना करना आसान नहीं है।
"X0" का उचित मूल्य "4" है, क्योंकि "4" "3" के करीब है और f (x0) = f (4) = √4 = 2 भी है।
यदि "x = 3" और "x0 = 4", तो 3-4x = 3-4 = -1। अब हम f के व्युत्पन्न की गणना करने के लिए आगे बढ़ते हैं। अर्थात, f '(x) = 1/2 * sox, इसलिए f' (4) = 1 / 2√4 = 1/2 * 2 = 1/4।
आपके द्वारा प्राप्त सूत्र में सभी मानों को प्रतिस्थापित करना:
√3 = f (3) + 2 + (1/4) * (- 1) = 2 - 1/4 = 7/4/ 1.75।
यदि आप एक कैलकुलेटर का उपयोग करते हैं जो आपको मिलता है कि use3 use1.73205… यह दर्शाता है कि पिछला परिणाम वास्तविक मूल्य का एक अच्छा अनुमान है।
दूसरा व्यायाम
लगभग √10।
उपाय
पहले की तरह, f (x) = xy को एक फ़ंक्शन के रूप में चुना जाता है, इस मामले में x = 10।
इस समय को चुनने के लिए x0 का मान "x0 = 9" है। हमारे पास तब thenx = 10-9 = 1, f (9) = 3 और f '(9) = 1/2 *9 = 1/2 * 3 = 1/6 है।
सूत्र में मूल्यांकन करते समय यह प्राप्त किया जाता है कि
√10 = f (10) + 3 + 1 * 1/6 = 3 + 1/6 = 19/6 = 3.1666…
एक कैलकुलेटर का उपयोग करके यह प्राप्त किया जाता है कि ≈10 22 3.1622776… यहां यह भी देखा जा सकता है कि पहले एक अच्छा सन्निकटन प्राप्त किया गया था।
तीसरा व्यायाम
लगभग rox10, जहां। घनमूल को दर्शाता है।
उपाय
स्पष्ट रूप से इस अभ्यास में उपयोग किया जाने वाला कार्य f (x) = thex है और "x" का मान "10" होना चाहिए।
एक मान जो "10" के करीब है जैसे कि उसकी घनमूल ज्ञात है "x0 = 8"। फिर हमारे पास =x = 10-8 = 2 और f (x0) = f (8) = 2. हमारे पास भी वह f '(x) = 1/3 * ²x² है, और फलस्वरूप f' (8) = 1/3 * 38² = 1/3 * =64 = 1/3 * 4 = 1/12।
सूत्र में डेटा को प्रतिस्थापित करते हुए, यह प्राप्त किया जाता है कि:
³√10 = f (10) + 2 + (1/12) * 2 = 2 + 1/6 = 13/6 = 2.16666…।
कैलकुलेटर कहता है कि ≈10 15 2.15443469… इसलिए, पाया गया सन्निकटन अच्छा है।
चौथा व्यायाम
लगभग ln (1.3), जहां "ln" प्राकृतिक लघुगणक फ़ंक्शन को दर्शाता है।
उपाय
पहले हम एक फ़ंक्शन f (x) = ln (x) के रूप में चुनते हैं और "x" का मान 1.3 है। अब, लघुगणक समारोह के बारे में थोड़ा जानकर, हम जान सकते हैं कि ln (1) = 0, और इसके अलावा "1" "1.3" के करीब है। इसलिए, "x0 = 1" चुना गया है और इस प्रकार 1.3x = 1.3 - 1 = 0.3 है।
दूसरी ओर f '(x) = 1 / x, ताकि f' (1) = 1 हो। दिए गए सूत्र में मूल्यांकन करते समय हमारे पास:
ln (1.3) = f (1.3) = 0 + 1 * 0.3 = 0.3।
एक कैलकुलेटर का उपयोग करके हमारे पास वह ln (1.3) that 0.262364 है… इसलिए बनाया गया सन्निकटन अच्छा है।
संदर्भ
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