अभिनंदन: सर्वांगसम आंकड़े, मापदंड, उदाहरण, अभ्यास - गणित - 2025

अनुरूपता ज्यामिति में कहा गया है कि दो समतल आकृतियों अगर एक ही आकार और आयाम, इन अनुकूल हैं। उदाहरण के लिए, दो सेगमेंट कंफर्टेबल होते हैं जब उनकी लंबाई बराबर होती है। इसके अलावा, कोणों के समान कोण होते हैं, भले ही वे विमान में उसी तरह उन्मुख न हों।

शब्द "सर्वांगसमता" लैटिन सर्वांगसमता से आता है, जिसका अर्थ पत्राचार है। इस प्रकार, दो सर्वांगसम आकृतियाँ एक दूसरे से बिल्कुल मेल खाती हैं।

चित्र 1. चित्रा में चतुर्भुज ABCD और A'B'C'D सर्वांगसम हैं: उनके पक्षों का एक ही माप है, जैसा कि उनके आंतरिक कोण करते हैं। स्रोत: एफ। ज़पाटा

उदाहरण के लिए, यदि हम छवि में दो चतुर्भुजों का निरूपण करते हैं, तो हम पाएंगे कि वे बधाई हैं, क्योंकि उनके पक्षों की व्यवस्था समान है और वे समान माप करते हैं।

चतुर्भुज ABCD और A'B'C'D को एक दूसरे के ऊपर रखकर, आंकड़े बिल्कुल मेल खाएंगे। संयोग पक्षों को होमोलॉगस या संबंधित पक्षों कहा जाता है और प्रतीक ident का उपयोग अनुरूपता व्यक्त करने के लिए किया जाता है। तो हम कह सकते हैं कि ABCD AB A'B'C'D '।

बधाई मानदंड

निम्नलिखित विशेषताएं बहुभुज के अनुरूप हैं:

-एक ही आकार और आकार।

-उनके कोणों की माप माप।

-इसके प्रत्येक पक्ष पर समान माप।

इस मामले में कि प्रश्न में दो बहुभुज नियमित हैं, अर्थात्, सभी पक्ष और आंतरिक कोण एक ही मापते हैं, जब निम्न में से कोई भी शर्त पूरी होती है, तो यह सुनिश्चित किया जाता है:

-साइड कंफर्टेबल होते हैं

-उपहारों का एक ही उपाय है

-प्रत्येक बहुभुज की त्रिज्या समान होती है

एक नियमित बहुभुज का एपोटेम केंद्र और पक्षों में से एक के बीच की दूरी है, जबकि त्रिज्या केंद्र और आंकड़ा के एक शीर्ष या कोने के बीच की दूरी से मेल खाती है।

बधाई मानदंड अक्सर उपयोग किया जाता है क्योंकि इतने सारे भाग और सभी प्रकार के टुकड़े बड़े पैमाने पर उत्पादित होते हैं और एक ही आकार और माप होना चाहिए। इस तरह से उन्हें आवश्यक होने पर आसानी से प्रतिस्थापित किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, नट, बोल्ट, शीट या गली में जमीन पर पक्के पत्थर।

चित्रा 2. सड़क के पक्के पत्थर सर्वांगपूर्ण आकृति वाले होते हैं, क्योंकि उनकी आकृति और आयाम बिल्कुल समान होते हैं, हालांकि फर्श पर उनका अभिविन्यास बदल सकता है। स्रोत: पिक्साबे

सम्‍मान, पहचान और समानता

बधाई से संबंधित ज्यामितीय अवधारणाएं हैं, उदाहरण के लिए समान आंकड़े और समान आंकड़े, जो जरूरी नहीं है कि आंकड़े बधाई हो।

ध्यान दें कि बधाई के आंकड़े समान हैं, हालांकि चित्र 1 में चतुर्भुज विमान पर अलग-अलग तरीकों से उन्मुख हो सकते हैं और अभी भी बधाई हो सकते हैं, क्योंकि विभिन्न अभिविन्यास उनके पक्षों या उनके कोणों के आकार को नहीं बदलते हैं। उस स्थिति में वे अब समान नहीं होंगे।

दूसरी अवधारणा आंकड़ों की समानता की है: दो विमान आंकड़े समान हैं यदि उनके आकार समान हैं और उनके आंतरिक कोण समान हैं, हालांकि आंकड़ों का आकार भिन्न हो सकता है। यदि यह मामला है, तो आंकड़े बधाई नहीं हैं।

बधाई के उदाहरण हैं

- कोण की बधाई

जैसा कि हमने शुरुआत में संकेत दिया था, सर्वांगसम कोणों का माप एक ही है। सर्वांगसम कोण प्राप्त करने के कई तरीके हैं:

उदाहरण 1

एक बिंदु वाली दो रेखाएं आम तौर पर दो कोणों को परिभाषित करती हैं, जिन्हें वर्टेक्स के कारण विपरीत कोण कहा जाता है। इन कोणों का माप एक ही है, इसलिए वे सर्वांगसम हैं।

चित्रा 3. शीर्ष द्वारा कोण समीप। स्रोत: विकिमीडिया कॉमन्स

उदाहरण 2

दो समानांतर रेखाएँ हैं और एक रेखा t है जो दोनों को काटती है। पिछले उदाहरण की तरह, जब यह रेखा समांतर कोशों को काटती है तो यह सर्वांगसम कोणों को उत्पन्न करती है, प्रत्येक रेखा के दाईं ओर एक और दूसरी तरफ बाईं ओर। आंकड़ा α और α ₁ दिखाता है, लाइन टी के दाईं ओर, जो कि बधाई हैं।

चित्र 4. चित्र में दिखाए गए कोण सम्‍मिलित हैं। स्रोत: विकिमीडिया कॉमन्स Lfahlberg / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0)।

उदाहरण 3

एक समांतर चतुर्भुज में चार आंतरिक कोण होते हैं, जो दो-दो के अनुरूप होते हैं। वे विपरीत छोरों के बीच के होते हैं, जैसा कि निम्नलिखित आकृति में दिखाया गया है, जिसमें हरे रंग में दो कोण सम्‍मिलित हैं, साथ ही लाल रंग में दो कोण हैं।

चित्रा 5. समांतर चतुर्भुज के आंतरिक कोण दो-दो द्वारा बधाई हैं। स्रोत: विकिमीडिया कॉमन्स

- त्रिकोण की बधाई

एक ही आकार और आकार के दो त्रिकोण सर्वांगसम हैं। इसे सत्यापित करने के लिए तीन मानदंड हैं जिनकी पुष्टि की खोज की जा सकती है:

- एलएलएल मानदंड: त्रिकोण के तीन पक्षों में एक ही उपाय हैं, इसलिए एल ₁ = एल ' ₁; एल ₂ = एल ' ₂ और एल ₃ = एल' _3।

चित्र 6. सर्वांगसम त्रिभुजों का उदाहरण, जिनके पक्ष समान हैं। स्रोत: एफ। ज़पाटा

- एएलए और एएएल मानदंड: त्रिकोण में दो समान आंतरिक कोण होते हैं और इन कोणों के बीच के पक्ष का एक ही माप होता है।

चित्रा 7. त्रिभुज सर्वांगसमता के लिए ALA और AAL मानदंड। स्रोत: विकिमीडिया कॉमन्स

- एलएएल मानदंड: दो पक्ष समान (संबंधित) हैं और उनके बीच एक ही कोण है।

चित्रा 8. त्रिकोण की बधाई के लिए एलएएल मानदंड। स्रोत: विकिमीडिया कॉमन्स

हल किया हुआ व्यायाम

- अभ्यास 1

दो त्रिकोण निम्न आकृति में दिखाए गए हैं: andABC और.ECF। यह ज्ञात है कि AC = EF, वह AB = 6 और वह CF = 10. इसके अलावा, कोण ∡BAC और conFEC सम्‍मिलित हैं और कोण ∡ACB और ∡FCB भी सम्‍मिलित हैं।

चित्र 9. काम किए गए उदाहरण के लिए त्रिकोण 1. स्रोत: एफ। ज़पाटा।

तब खंड BE की लंबाई बराबर है:

(i) ५

(ii) ३

(iii) ४

(iv) २

(v) ६

उपाय

चूंकि दो त्रिभुजों के बराबर लंबाई का एक पक्ष है AC = EF, समान कोणों के बीच triBAC = ∡CEF और ∡BCA = FECFE, यह कहा जा सकता है कि दो त्रिभुज ALA कसौटी के अनुरूप हैं।

यही कारण है, isBAC ≡,CEF है, इसलिए हमें निम्न करना होगा:

बीए = सीई = एबी = 6

बीसी = सीएफ = 10

एसी = ईएफ

लेकिन गणना किए जाने वाला खंड बीई = बीसी - ईसी = 10 - 6 = 4 है।

तो सही उत्तर है (iii)।

- व्यायाम २

नीचे दिए गए चित्र में तीन त्रिकोण दिखाए गए हैं। यह भी ज्ञात है कि दो संकेतित कोण 80 and प्रत्येक को मापते हैं और यह कि एबी = पीडी और एपी = सीडी खंड। चित्र में इंगित कोण X का मान ज्ञात कीजिए।

चित्र 10. हल किए गए उदाहरण के लिए त्रिकोण 2. स्रोत: F. Zapata।

उपाय

आपको त्रिभुजों के गुणों को लागू करना होगा, जो कि चरण दर चरण विस्तृत हैं।

चरण 1

LAL त्रिभुज अनुरूपता मानदंड से शुरू करते हुए, यह कहा जा सकता है कि BAP और PDC त्रिभुज शंकुधारी हैं:

ΔBAP ≡ DCPDC

चरण 2

ऊपर उस बीपी = पीसी की पुष्टि करता है, इसलिए त्रिकोण isBPC समद्विबाहु और BPCB = XPBC = X है।

चरण 3

यदि हम कोण BPC If कहते हैं, तो यह इस प्रकार है:

2x + γ = 180º

चरण 4

और अगर हम कोणों को APB और DCP और α को कोण ABP और DPC कहते हैं, तो हमारे पास:

α + AP + γ = 180º (चूंकि एपीबी एक विमान कोण है)।

चरण 5

इसके अलावा, त्रिभुज APB के आंतरिक कोणों के योग से α + β + 80º = 180 sum।

चरण 6

हमारे पास इन सभी अभिव्यक्तियों को मिलाकर:

α + β = 100º

चरण 7

और इसीलिए:

º = 80γ।

चरण 8

अंत में यह इस प्रकार है:

2X + 80º = 180º

एक्स = 50 X के साथ।

संदर्भ

1. बाल्डोर, ए। 1973. विमान और अंतरिक्ष ज्यामिति। मध्य अमेरिकी सांस्कृतिक।
2. सीके -12 फाउंडेशन। बहुभुज। से पुनर्प्राप्त: ck 12.org।
3. गणित का आनंद लें। परिभाषाएँ: त्रिज्या (बहुभुज)। से पुनर्प्राप्त: enjoylasmatematicas.com।
4. मठ खुला संदर्भ। अभिनंदन के लिए बहुभुज का परीक्षण। से पुनर्प्राप्त: mathopenref.com।
5. विकिपीडिया। कांग्रेंस (ज्यामिति)। से पुनर्प्राप्त: es.wikipedia.org।
6. ज़ापटा, एफ। त्रिकोण, इतिहास, तत्व, वर्गीकरण, गुण। से पुनर्प्राप्त: lifeder.com।