अनंत सेट: गुण, उदाहरण - गणित - 2025

एक अनंत सेट को वह सेट माना जाता है जिसमें उसके तत्वों की संख्या बेशुमार होती है। अर्थात्, इसके तत्वों की संख्या चाहे कितनी भी बड़ी क्यों न हो, हमेशा अधिक खोजना संभव है।

सबसे आम उदाहरण प्राकृतिक संख्या एन का अनंत सेट है । इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि संख्या कितनी बड़ी है, क्योंकि आप हमेशा उस प्रक्रिया में एक बड़ा प्राप्त कर सकते हैं जिसका कोई अंत नहीं है:

N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ………………, 41, 42, 43, …………………………………………। 100, 101, …………………………, 126, 127, 128, ………………।……………………}

चित्र 1. अनंत का प्रतीक। (Pixabay)

ब्रह्मांड में तारों का सेट निश्चित रूप से विशाल है, लेकिन यह निश्चित रूप से ज्ञात नहीं है कि यह परिमित है या अनंत। सौर मंडल में ग्रहों की संख्या के विपरीत जिसे एक परिमित समुच्चय के रूप में जाना जाता है।

अनंत सेट के गुण

अनंत सेटों के गुणों के बीच हम निम्नलिखित बातें बता सकते हैं:

1- दो अनंत सेटों का मिलन एक नए अनंत सेट को जन्म देता है।

2- एक अनंत के साथ एक परिमित सेट का मिलन एक नए अनंत सेट को जन्म देता है।

3- यदि किसी दिए गए सेट का उप-भाग अनंत है, तो मूल सेट भी अनंत है। पारस्परिक कथन सत्य नहीं है।

आप एक प्राकृतिक संख्या नहीं पा सकते हैं जो कार्डिनैलिटी या अनंत सेट के तत्वों की संख्या को व्यक्त करने में सक्षम है। हालांकि, जर्मन गणितज्ञ जॉर्ज कैंटर ने एक अनंत अध्यादेश की अवधारणा पेश की, जो कि किसी भी प्राकृतिक संख्या से अधिक अनंत अध्यादेश को संदर्भित करता है।

उदाहरण

प्राकृतिक एन

अनंत सेट का सबसे अक्सर उदाहरण प्राकृतिक संख्या है। प्राकृतिक संख्याएं वे होती हैं जिनका उपयोग गणना के लिए किया जाता है, हालांकि पूरी संख्या जो मौजूद हो सकती है वह बेशुमार है।

प्राकृतिक संख्याओं के सेट में शून्य शामिल नहीं है और इसे आमतौर पर सेट N के रूप में दर्शाया जाता है, जिसे व्यापक रूप में निम्न प्रकार से व्यक्त किया जाता है:

N = {1, 2, 3, 4, 5,…।} और स्पष्ट रूप से एक अनंत सेट है।

एक दीर्घवृत्त का उपयोग यह दर्शाने के लिए किया जाता है कि एक संख्या के बाद, दूसरा अनुसरण करता है और फिर किसी अंतहीन या अंतहीन प्रक्रिया में।

प्राकृतिक संख्याओं के समूह को उस सेट के साथ मिलाया जाता है जिसमें संख्या शून्य (0) होती है जिसे सेट N + के रूप में जाना जाता है ।

N + = {0, 1, 2, 3, 4, 5,…।} जो अनंत सेट N के परिमित सेट O = {0} के परिणामस्वरूप होता है, जिसके परिणामस्वरूप अनंत सेट N + होता है ।

पूर्णांक Z

पूर्णांक Z का सेट प्राकृतिक संख्याओं से बना है, एक नकारात्मक चिन्ह और शून्य के साथ प्राकृतिक संख्या।

पूर्णांकों जेड प्राकृतिक संख्या के संबंध में एक विकास माना जाता है एन गिनती प्रक्रिया में मूल रूप से और आदिम इस्तेमाल किया।

पूर्णांक के संख्यात्मक सेट Z में, शून्य को कुछ भी और नकारात्मक संख्याओं की गणना या गणना करने के लिए शामिल किया जाता है, जो निष्कर्षण, हानि या किसी चीज़ की कमी की गणना करता है।

विचार को स्पष्ट करने के लिए, मान लीजिए कि बैंक खाते में एक नकारात्मक शेष राशि दिखाई देती है। इसका मतलब यह है कि खाता शून्य से नीचे है और यह न केवल यह है कि खाता खाली है, बल्कि इसमें एक लापता या नकारात्मक अंतर है, जिसे किसी तरह बैंक में बदलना होगा।

व्यापक रूप में पूर्णांक का अनंत सेट Z इस तरह लिखा जाता है:

Z = {………।, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ……..}

तर्कसंगत तर्क क्यू

गिनती, और चीजों, वस्तुओं या सेवाओं के आदान-प्रदान की प्रक्रिया के विकास में, भिन्नात्मक या तर्कसंगत संख्याएं दिखाई देती हैं।

उदाहरण के लिए, लेनदेन की रिकॉर्डिंग करते समय, दो सेब के साथ आधा पाव का आदान-प्रदान करते समय, यह किसी के लिए हुआ कि आधे को एक के रूप में लिखा जाना चाहिए या दो भागों में विभाजित किया जाना चाहिए: ging। लेकिन आधे ब्रेड का आधा भाग निम्नानुसार दर्ज किया जाएगा: bread / bread = bread।

यह स्पष्ट है कि विभाजन की यह प्रक्रिया सिद्धांत रूप में अंतहीन हो सकती है, हालांकि व्यवहार में यह तब तक है जब तक कि रोटी का अंतिम कण नहीं पहुंच जाता।

परिमेय (या भिन्नात्मक) संख्याओं का सेट निम्नानुसार दर्शाया गया है:

Q = {………, -3,…।, -2,….., -1, ……, 0,….., 1, ……, 2,….., 3, ……..}

दो पूरी संख्याओं के बीच दीर्घवृत्त का अर्थ है कि उन दो संख्याओं या मूल्यों के बीच अनंत विभाजन या विभाजन हैं। इसीलिए परिमेय संख्याओं के समुच्चय को असीम रूप से सघन कहा जाता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि दो तर्कसंगत संख्याएं एक-दूसरे के करीब हो सकती हैं, फिर भी अनंत मूल्य मिल सकते हैं।

उपरोक्त व्याख्या करने के लिए, मान लें कि हमें 2 और 3 के बीच एक परिमेय संख्या ज्ञात करने के लिए कहा जाता है। यह संख्या 2 what हो सकती है, जिसे मिश्रित संख्या के रूप में जाना जाता है जिसमें 2 पूरे भाग होते हैं और इकाई का एक तिहाई होता है, जो है 4/3 लिखने के बराबर।

2 और 2⅙ के बीच एक और मूल्य पाया जा सकता है, उदाहरण के लिए 2⅓। और 2 और 2 between के बीच एक और मूल्य पाया जा सकता है, उदाहरण के लिए 2⅙। इन दोनों के बीच, और उनके बीच एक और, एक और।

चित्रा 2. तर्कसंगत संख्याओं में अनंत विभाजन। (विकिमीडिया कॉमन्स)

अपरिमेय संख्या I

ऐसी संख्याएँ हैं जिन्हें दो पूर्ण संख्याओं के विभाजन या भिन्न के रूप में नहीं लिखा जा सकता है। यह यह संख्यात्मक सेट है जिसे अपरिमेय संख्याओं के सेट I के रूप में जाना जाता है और यह एक अनंत सेट भी है।

इस संख्यात्मक सेट के कुछ उल्लेखनीय तत्व या प्रतिनिधि संख्या पी (,), यूलर संख्या (ई), स्वर्ण अनुपात या स्वर्ण संख्या (φ) हैं। ये संख्या केवल एक परिमेय संख्या द्वारा मोटे तौर पर लिखी जा सकती है:

π = 3.1415926535897932384626433832795 ……… (और अनंत और उससे आगे…)

e = 2.7182818284590452353602874713527 ……। (और अनंत से आगे भी जारी है…)

φ = 1.6180339887498989484820 …….. (अनंत तक….. और परे…..)

अन्य अपरिमेय संख्याएँ बहुत सरल समीकरणों का हल खोजने की कोशिश करते समय दिखाई देती हैं, उदाहरण के लिए समीकरण X ^ 2 = 2 का सटीक तर्कसंगत समाधान नहीं है। निम्नलिखित सहजीवन द्वारा सटीक समाधान व्यक्त किया गया है: X = by2, जिसे x को दो के मूल के बराबर पढ़ा जाता है।:2 के लिए एक अनुमानित तर्कसंगत (या दशमलव) अभिव्यक्ति है:

√2 √1.4142135623730950488016887242097

कुछ नाम रखने के लिए अनगिनत अपरिमेय संख्याएँ हैं, √3,,7,,11, 3 ^ (⅓), 5 ^ (a)।

Reals आर का सेट

वास्तविक संख्याएं गणितीय कैलकुलस, भौतिकी और इंजीनियरिंग में सबसे अधिक बार उपयोग किए जाने वाले सेट हैं। यह संख्या सेट परिमेय संख्या Q का संघ है और अपरिमेय संख्या I:

आर = क्यू यू मैं

अनंत से अधिक अनंत

अनंत सेटों में से कुछ दूसरों की तुलना में अधिक हैं। उदाहरण के लिए, प्राकृतिक संख्या N का सेट अनंत है लेकिन पूर्णांक Z का एक सबसेट है जो अनंत है, इसलिए अनंत सेट Z अनंत सेट N से अधिक है ।

इसी तरह, पूर्णांक Z का सेट वास्तविक संख्या R का एक उपसमूह है, और इसलिए सेट R, अनंत सेट Z का "अनंत" है ।

संदर्भ

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