एकीकरण के निरंतर: अर्थ, गणना और उदाहरण - गणित - 2025

एकीकरण की निरंतरता एंटीडेराइटिस या इंटीग्रल्स की गणना के लिए एक अतिरिक्त मूल्य है, यह उन समाधानों का प्रतिनिधित्व करने के लिए कार्य करता है जो एक फ़ंक्शन के आदिम बनाते हैं। यह एक अंतर्निहित अस्पष्टता व्यक्त करता है जहां किसी भी फ़ंक्शन में अनंत संख्या में प्राइमेटिक्स होते हैं।

उदाहरण के लिए, यदि हम फंक्शन लेते हैं: f (x) = 2x + 1 और हमें इसका प्रतिपक्षी मिल जाता है:

1 (2x + 1) dx = x ² + x + C; जहाँ C एकीकरण का स्थिरांक है और आदिम की अनंत संभावनाओं के बीच रेखीय रूप से ऊर्ध्वाधर अनुवाद का प्रतिनिधित्व करता है। यह कहना सही है कि (x ² + x) f (x) की प्रधानता में से एक है।

स्रोत: लेखक

इसी तरह हम (x ² + x + C) को f (x) के आदिम के रूप में परिभाषित कर सकते हैं ।

संपत्ति का उलटा

यह ध्यान दिया जा सकता है कि जब अभिव्यक्ति (x ² + x) को व्युत्पन्न किया जाता है तो f (x) = 2x + 1 प्राप्त होता है। ऐसा व्युत्क्रम गुण के कारण व्युत्पन्न और कार्यों के एकीकरण के बीच होता है। यह संपत्ति भेदभाव से शुरू होने वाले एकीकरण सूत्र प्राप्त करने की अनुमति देती है। जो एक ही डेरिवेटिव के माध्यम से अभिन्न के सत्यापन की अनुमति देता है।

स्रोत: लेखक

हालाँकि (x ² + x) एकमात्र ऐसा कार्य नहीं है जिसका व्युत्पन्न (2x + 1) के बराबर है।

1. d (x ² + x) / dx = 2x + 1
2. d (x ² + x + 1) / dx = 2x + 1
3. d (x ² + x + 2) / dx = 2x + 1
4. d (x ² + x + 3) / dx = 2x + 1
5. d (x ² + x + C) / dx = 2x + 1

जहाँ 1, 2, 3 और 4, विशेष रूप से f (x) = 2x + 1. का प्रतिनिधित्व करते हैं, जबकि 5 f (x) = 2x + 1 के अनिश्चित या आदिम अभिन्न का प्रतिनिधित्व करता है।

स्रोत: लेखक

एक फ़ंक्शन की प्राथमिकताओं को एंटीइडरेशन या अभिन्न प्रक्रिया के माध्यम से प्राप्त किया जाता है। यदि F निम्न में से सत्य है तो F, का एक आदिम होगा

• y = (f (x) dx = F (x) + C; सी = निरंतरता का एकीकरण
• F '(x) = f (x)

यह देखा जा सकता है कि एक फ़ंक्शन में एक एकल व्युत्पन्न है, इसके एकीकरण के परिणामस्वरूप अनंत अनंतताएं हैं।

अनिश्चितकालीन अभिन्न

∫ f (x) dx = F (x) + C

यह एक ही पैटर्न के साथ घटता के एक परिवार से मेल खाती है, जो प्रत्येक बिंदु (x, y) के चित्रों के मूल्य में असंगति का अनुभव करता है। प्रत्येक फ़ंक्शन जो इस पैटर्न को पूरा करता है वह एक व्यक्तिगत आदिम होगा और सभी कार्यों के सेट को अनिश्चितकालीन अभिन्न के रूप में जाना जाता है ।

एकीकरण के निरंतरता का मूल्य वह होगा जो व्यवहार में प्रत्येक फ़ंक्शन को अलग करता है।

एकीकरण की लगातार एक समारोह के पुरातन का प्रतिनिधित्व सभी रेखांकन में एक ऊर्ध्वाधर पारी पता चलता है। जहां उनके बीच समानता देखी जाती है, और तथ्य यह है कि सी विस्थापन का मूल्य है।

सामान्य प्रथाओं के अनुसार, एकीकरण के निरंतर को अक्षर "C" द्वारा एक परिशिष्ट के बाद निरूपित किया जाता है, हालांकि व्यवहार में यह बात मायने नहीं रखती है कि क्या स्थिरांक को जोड़ा या घटाया गया है। इसका वास्तविक मूल्य विभिन्न तरीकों से विभिन्न प्रारंभिक स्थितियों में पाया जा सकता है ।

एकीकरण के निरंतर के अन्य अर्थ

यह पहले से ही चर्चा की गई है कि एकीकरण की निरंतरता अभिन्न कलन की शाखा में कैसे लागू होती है; घटता के परिवार का प्रतिनिधित्व करना जो अनिश्चितकालीन अभिन्नता को परिभाषित करता है। लेकिन कई अन्य विज्ञानों और शाखाओं ने एकीकरण के निरंतर के बहुत ही रोचक और व्यावहारिक मूल्यों को सौंपा है , जिन्होंने कई अध्ययनों के विकास को सुविधाजनक बनाया है।

में भौतिक विज्ञान के एकीकरण के निरंतर डेटा की प्रकृति के आधार से अधिक मान ले जा सकते हैं। एक बहुत ही सामान्य उदाहरण फ़ंक्शन V (t) को जान रहा है जो एक कण बनाम समय t के वेग का प्रतिनिधित्व करता है। यह ज्ञात है कि V (t) के एक आदिम की गणना करते समय फ़ंक्शन R (t) प्राप्त किया जाता है जो कण बनाम समय की स्थिति का प्रतिनिधित्व करता है।

एकीकरण की निरंतरता प्रारंभिक स्थिति के मूल्य का प्रतिनिधित्व करेगी, अर्थात, समय t = 0 पर।

उसी तरह, यदि फ़ंक्शन ए (टी) जो कण बनाम समय के त्वरण का प्रतिनिधित्व करता है, तो जाना जाता है। A (t) का आदिम फलन V (t) के फलस्वरूप होगा, जहाँ एकीकरण का स्थिरांक प्रारंभिक वेग V ₀ का मान होगा ।

में अर्थशास्त्र, एकीकरण लागत समारोह के आदिम द्वारा प्राप्त करने के द्वारा। एकीकरण की निरंतरता निश्चित लागतों का प्रतिनिधित्व करेगी । और इतने सारे अन्य अनुप्रयोग जो विभेदक और अभिन्न कलन को योग्यता देते हैं।

एकीकरण की निरंतरता की गणना कैसे की जाती है?

एकीकरण की निरंतरता की गणना करने के लिए, प्रारंभिक स्थितियों को जानना हमेशा आवश्यक होगा । जो कि संभव आदिमों में से एक को परिभाषित करने के आरोप में संगत हैं।

कई अनुप्रयोगों में इसे समय (टी) पर एक स्वतंत्र चर के रूप में माना जाता है, जहां निरंतर सी उन मानों को लेता है जो विशेष मामले की प्रारंभिक स्थितियों को परिभाषित करते हैं ।

यदि हम प्रारंभिक उदाहरण लेते हैं: example (2x + 1) dx = x ² + x + C

एक मान्य प्रारंभिक स्थिति यह हो सकती है कि ग्राफ एक विशिष्ट समन्वय से गुजरता है। उदाहरण के लिए, हम जानते हैं कि आदिम (x ² + x + C) बिंदु (1, 2) से होकर गुजरती है

एफ (एक्स) = एक्स ² + एक्स + सी; यह सामान्य उपाय है

एफ (1) = 2

हम इस समानता में सामान्य समाधान का विकल्प देते हैं

एफ (1) = (1) ² + (1) + सी = 2

जहाँ से यह आसानी से उस C = 0 का अनुसरण करता है

इस तरह इस मामले के लिए संबंधित आदिम F (x) = x ² + x है

कई प्रकार के संख्यात्मक अभ्यास हैं जो एकीकरण के स्थिरांक के साथ काम करते हैं । वास्तव में, अंतर और अभिन्न कलन वर्तमान जांच में लागू होने से नहीं रोकता है। विभिन्न शैक्षणिक स्तरों पर उन्हें पाया जा सकता है; प्रारंभिक गणना से, भौतिकी, रसायन विज्ञान, जीव विज्ञान, अर्थशास्त्र, दूसरों के बीच से।

विभेदक समीकरणों के अध्ययन में भी इसकी सराहना की जाती है, जहां एकीकरण निरंतर विभिन्न मूल्यों और समाधानों को ले सकता है, यह इस मामले में किए गए कई व्युत्पत्तियों और एकीकरण के कारण होता है।

उदाहरण

उदाहरण 1

1. 30 मीटर ऊँची एक तोप एक प्रक्षेप्य को ऊपर की ओर खड़ी करती है। प्रक्षेप्य का प्रारंभिक वेग 25 m / s माना जाता है। तय:

• फ़ंक्शन जो समय के संबंध में प्रक्षेप्य की स्थिति को परिभाषित करता है।
• उड़ान का समय या तात्कालिक समय जब कण जमीन से टकराता है।

यह ज्ञात है कि एक आयताकार गति में समान रूप से विविध त्वरण एक स्थिर मान है। यह प्रक्षेप्य प्रक्षेपण का मामला है, जहां त्वरण गुरुत्वाकर्षण होगा

जी = - १० मीटर / एस ^२

यह भी जाना जाता है कि त्वरण स्थिति का दूसरा व्युत्पन्न है, जो अभ्यास के संकल्प में दोहरे एकीकरण को इंगित करता है, इस प्रकार दो एकीकरण स्थिरांक प्राप्त करता है।

ए (टी) = -10

वी (टी) = ∫A (टी) dt = ∫ (-10t) dt = -10t + सी ₁

व्यायाम की प्रारंभिक स्थितियों से संकेत मिलता है कि प्रारंभिक वेग V ₀ = 25 m / s है। यह समय t = 0. के तुरंत वेग है। इस तरह से यह संतुष्ट हो जाता है कि:

V (0) = 25 = -10 (0) + C ₁ और C ₁ = 25

वेग फ़ंक्शन के साथ परिभाषित किया गया है

वी (टी) = -10 टी + 25; समानता MRUV सूत्र के साथ देखी जा सकती है (V _f = V ₀ + axt)

एक सजातीय तरीके से, हम उस स्थिति को परिभाषित करने वाले अभिव्यक्ति को प्राप्त करने के लिए वेग फ़ंक्शन को एकीकृत करने के लिए आगे बढ़ते हैं:

R (t) = ∫V (t) dt =-(-10t + 25) dt = -5t ² + 25t + C ₂

आर (टी) = -5 टी ² + 25 टी + सी ₂ (स्थिति आदिम)

प्रारंभिक स्थिति आर (0) = 30 मीटर ज्ञात है। फिर प्रक्षेप्य के विशेष आदिम की गणना की जाती है।

आर (0) = 30 मीटर = -5 (0) ² + 25 (0) + सी ₂ । जहाँ C ₂ = 30

उदाहरण 2

1. प्रारंभिक स्थितियों को पूरा करने वाले आदिम एफ (x) का पता लगाएं:

• f '' (x) = 4; f '(2) = 2; f (0) = 7

दूसरी व्युत्पन्न f '' (x) = 4 की सूचना के साथ प्रतिरोधी प्रक्रिया शुरू होती है

f '(x) = ∫f' '(x) dx

∫4 dx = 4x + C ₁

फिर, स्थिति f '(2) = 2 को जानकर हम आगे बढ़ते हैं:

4 (2) + सी ₁ = 2

सी ₁ = -6 और एफ '(एक्स) = 4x - 8

हम एकीकरण के दूसरे स्थिरांक के लिए उसी तरह आगे बढ़ते हैं

f (x) ='f '(x) dx

4 (4x - 8) dx = 2x ² - 8x + ₂

प्रारंभिक स्थिति f (0) = 7 ज्ञात है और हम आगे बढ़ते हैं:

2 (0) ² - 8 (0) + C ₂ = 7

C ₂ = 7 और f (x) = 2x ² - 8x + 7

• f '' (x) = x ²; f '(0) = 6; f (0) = 3

पिछली समस्या के समान तरीके से, हम शुरुआती स्थितियों से पहले डेरिवेटिव और मूल फ़ंक्शन को परिभाषित करते हैं।

f '(x) = ∫f' '(x) dx

∫ (एक्स ²) dx = (एक्स ³ /3) + सी ₁

स्थिति f 'के साथ (0) = 6 हम आगे बढ़ते हैं:

(0 ^3/3) + सी ₁ = 6; कहाँ सी ₁ = 6 और च '(x) = (एक्स ³ /3) + 6

फिर एकीकरण का दूसरा स्थिरांक

f (x) = ∫f '(x) dx

∫ dx = (एक्स ⁴ /12) + 6x + सी ₂

प्रारंभिक स्थिति f (0) = 3 ज्ञात है और हम आगे बढ़ते हैं:

+ 6 (0) + सी ₂ = 3; जहाँ C ₂ = 3

इस प्रकार हम आदिम विशेष को प्राप्त करते हैं

f (x) = (एक्स ⁴ /12) + 6x + 3

उदाहरण 3

1. ग्राफ़ पर दिए गए डेरिवेटिव और एक बिंदु को देखते हुए आदिम कार्यों को परिभाषित करें:

• डाई / डीएक्स = 2x - 2 जो बिंदु से गुजरती है (3, 2)

यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि डेरिवेटिव किसी दिए गए बिंदु पर वक्र के लिए स्पर्श रेखा की ढलान को संदर्भित करता है। जहां यह मान लेना सही नहीं है कि व्युत्पन्न का ग्राफ इंगित बिंदु को छूता है, क्योंकि यह आदिम फ़ंक्शन के ग्राफ से संबंधित है।

इस तरह हम अंतर समीकरण को इस प्रकार व्यक्त करते हैं:

∫dy = ∫ (2x - 2) dx

प्रारंभिक स्थिति को लागू करना:

2 = (3) ² - 2 (3) + सी

सी = -1

इसे प्राप्त किया जाता है: f (x) = x ² - 2x - 1

• डाई / dx = 3x ² - 1 जो बिंदु से होकर गुजरती है (0, 2)

हम अंतर समीकरण को इस प्रकार व्यक्त करते हैं:

प्रारंभिक स्थिति को लागू करना:

2 = (0) ² - 2 (0) + सी

सी = 2

हम प्राप्त करते हैं: f (x) = x ³ - x + 2

प्रस्तावित अभ्यास

अभ्यास 1

1. प्रारंभिक स्थितियों को पूरा करने वाले आदिम एफ (x) का पता लगाएं:

• f '' (x) = x; f '(3) = 1; f (2) = 5
• f '' (x) = x + 1; f '(2) = 2; f (0) = 1
• f '' (x) = 1; f '(2) = 3; f (1) = 10
• f '' (x) = -x; f '(5) = 1; f (1) = -8

व्यायाम २

1. 16 फीट / सेकंड के वेग से चढ़ता एक गुब्बारा जमीन के स्तर से 64 फीट की ऊंचाई से रेत का एक बैग गिराता है।

• उड़ान के समय को परिभाषित करें
• जब यह जमीन से टकराएगा तो वेक्टर V _f क्या होगा ?

व्यायाम ३

1. आंकड़ा एक्स-अक्ष की सकारात्मक दिशा में चलती कार के त्वरण-समय के ग्राफ को दर्शाता है। कार 54 किमी / घंटा की निरंतर गति से यात्रा कर रही थी जब ड्राइवर ने 10 सेकंड में रुकने के लिए ब्रेक लगाया। निर्धारित करें:

• कार का प्रारंभिक त्वरण
• कार की गति t = 5 s पर
• ब्रेक लगाने के दौरान कार का विस्थापन

स्रोत: लेखक

व्यायाम ४

1. ग्राफ़ पर दिए गए डेरिवेटिव और एक बिंदु को देखते हुए आदिम कार्यों को परिभाषित करें:

• डाई / dx = x जो बिंदु से होकर गुजरती है (-1, 4)
• डाई / dx = -x ² + 1 जो बिंदु से होकर गुजरती है (0, 0)
• डाई / डीएक्स = -x + 1 जो बिंदु से गुजरता है (-2, 2)

संदर्भ

1. समाकलन गणित। अनिश्चितकालीन अभिन्न और एकीकरण के तरीके। विल्सन, वेलसक्वेज़ बस्तीदास। मगदलीना विश्वविद्यालय 2014
2. स्टीवर्ट, जे (2001)। एक चर की गणना। प्रारंभिक पारगमन। मेक्सिको: थॉमसन लर्निंग।
3. जिमेनेज, आर। (2011)। गणित VI। समाकलन गणित। मेक्सिको: पियर्सन एजुकेशन।
4. भौतिकी आई। मैक ग्रे पहाड़ी