चतुर्भुज: तत्व, गुण, वर्गीकरण, उदाहरण - गणित - 2025

एक चतुर्भुज एक बहुभुज है जिसमें चार भुजाएँ और चार कोने होते हैं। इसके विपरीत पक्ष वे होते हैं जिनमें आम नहीं होते हैं, जबकि लगातार पक्ष वे होते हैं जिनमें एक सामान्य शीर्ष होता है।

एक चतुर्भुज में, आसन्न कोण एक तरफ साझा करते हैं, जबकि विपरीत कोणों में कोई पक्ष नहीं होता है। एक चतुर्भुज की एक और महत्वपूर्ण विशेषता यह है कि इसके चार आंतरिक कोणों का योग विमान कोण से दोगुना है, अर्थात 360π या 2 quad रेडियन है।

चित्रा 1. विभिन्न चतुर्भुज। स्रोत: एफ। ज़पाटा

विकर्ण वे खंड होते हैं जो एक विपरीत के साथ एक शीर्ष में जुड़ते हैं और दिए गए चतुर्भुज में, प्रत्येक शीर्ष से एक एकल विकर्ण खींचा जा सकता है। एक चतुर्भुज में विकर्णों की कुल संख्या दो है।

चतुर्भुज प्राचीन काल से मानव जाति के लिए ज्ञात आंकड़े हैं। पुरातत्व अभिलेख, साथ ही साथ आज जो निर्माण जीवित हैं, वे इस बात की पुष्टि करते हैं।

इसी तरह, आज हर किसी के दैनिक जीवन में चतुर्भुज की महत्वपूर्ण उपस्थिति है। पाठक इस फॉर्म को स्क्रीन पर पा सकते हैं, जिस पर वह इस क्षण, खिड़कियों, दरवाजों, मोटर वाहन भागों और अनगिनत स्थानों पर पाठ पढ़ रहा है।

चतुर्भुज वर्गीकरण

विपरीत पक्षों की समानता के अनुसार, चतुर्भुज को निम्नानुसार वर्गीकृत किया जाता है:

1. समलम्बाकार, जब कोई समानता नहीं है और चतुर्भुज उत्तल है।
2. ट्रैपेज़ॉइड, जब विपरीत पक्षों की एक जोड़ी के बीच समानता है।
3. समांतर चतुर्भुज, जब इसके विपरीत पक्ष दो से दो समानांतर होते हैं।

चित्रा 2. चतुर्भुज का वर्गीकरण और उपवर्ग। स्रोत: विकिमीडिया कॉमन्स

समांतर चतुर्भुज के प्रकार

बदले में, समांतर चतुर्भुज को उनके कोण और उनके पक्षों के अनुसार वर्गीकृत किया जा सकता है:

1. आयत वह समांतर चतुर्भुज है जिसके समान माप के चार आंतरिक कोण हैं। आयत का आंतरिक कोण एक समकोण (90।) बनाता है।
2. स्क्वायर, यह बराबर माप के अपने चार पक्षों के साथ एक आयत है।
3. Rhombus अपने चार समान पक्षों के साथ समांतर चतुर्भुज है, लेकिन विभिन्न आसन्न कोण हैं।
4. रोडोमिड, समीपस्थ कोण विभिन्न आसन्न कोणों के साथ।

ट्रापेज़

ट्रेपेज़ॉइड एक उत्तल चतुर्भुज है जिसमें दो समानांतर भुजाएँ हैं।

चित्रा 3. एक ट्रेपोज़ॉइड के मामले, पक्ष, ऊंचाई और मध्य। स्रोत: विकिमीडिया कॉमन्स

- एक समलम्बाकार में, समानांतर पक्षों को आधार कहा जाता है और गैर-समानांतर पक्षों को पार्श्व कहा जाता है।

- एक ट्रेपोज़ॉइड की ऊंचाई दो आधारों के बीच की दूरी है, अर्थात्, एक खंड की लंबाई के साथ आधार और उन पर लंबवत समाप्त होता है। इस सेगमेंट को ट्रेपेज़ॉइड की ऊंचाई भी कहा जाता है।

- माध्यिका वह खंड है जो पार्श्वों के मध्य बिंदु से जुड़ता है। यह दिखाया जा सकता है कि माध्यिका जाल के आधारों के समानांतर है और इसकी लंबाई आधारों के अर्धव्यास के बराबर है।

- एक समलम्ब का क्षेत्र इसकी ऊँचाई को आधारों के अर्ध-योग से गुणा करता है:

ट्रेपोज़िड्स के प्रकार

-Rectangular trapezoid: यह आधारों के लिए एक तरफ लंबवत के साथ एक है। यह पक्ष भी ट्रेपेज़ियम की ऊंचाई है।

-सोस्केलस ट्रेपोजॉइड: एक समान लंबाई वाले पक्षों के साथ। समद्विबाहु समलम्बाकार में समतल से सटे कोण समतुल्य होते हैं।

-कैल्सीन ट्रेपेज़ियम: विभिन्न लंबाई के अपने पक्षों के साथ एक। इसके विपरीत कोण एक तीव्र और दूसरा अप्रिय हो सकते हैं, लेकिन यह भी हो सकता है कि दोनों ही एक्यूट हों या दोनों तीव्र हों।

चित्रा 4. ट्रेपेज़ियम के प्रकार। स्रोत: एफ। ज़पाटा

चतुर्भुज

समांतर चतुर्भुज एक चतुर्भुज है जिसके विपरीत पक्ष दो से दो समानांतर हैं। एक समांतर चतुर्भुज में विपरीत कोण बराबर होते हैं और आसन्न कोण पूरक होते हैं, या दूसरा रास्ता डालते हैं, आसन्न कोण 180º तक जोड़ते हैं।

यदि एक समांतर चतुर्भुज में समकोण होता है, तो अन्य सभी कोण भी होंगे, और परिणामी आकृति को एक आयत कहा जाता है। लेकिन अगर आयत के समान लंबाई के पास के किनारे भी होते हैं, तो इसके सभी पक्ष समान होते हैं और परिणामस्वरूप आंकड़ा एक वर्ग होता है।

चित्रा 5. समांतर चतुर्भुज। आयत, वर्ग और समभुज समांतर चतुर्भुज हैं। स्रोत: एफ। ज़पाटा

जब एक समांतर चतुर्भुज में समान लंबाई के दो बगल होते हैं, तो इसके सभी पक्ष समान लंबाई के होंगे, और परिणामी आकृति एक समभुज है।

एक समांतर चतुर्भुज की ऊंचाई इसके विपरीत पक्षों और उन पर लंबवत छोरों के साथ एक खंड है।

एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्र

एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल आधार की ऊँचाई के आधार का गुणनफल होता है, ऊँचाई के आधार लम्बवत एक पक्ष (आंकड़ा 6)।

एक समांतर चतुर्भुज के विकर्ण

विकर्ण का वर्ग जो एक शीर्ष से शुरू होता है, दोनों पक्षों के वर्गों के योग के बराबर होता है, यह कहा जाता है कि उस शीर्ष के कोण के कोसाइन द्वारा उन पक्षों के दोहरे उत्पाद के अलावा:

f ² = a ² + d ² + 2 विज्ञापन Cos (α)

चित्रा 6. समांतर चतुर्भुज। विपरीत कोण, ऊंचाई, विकर्ण। स्रोत: एफ। ज़पाटा

एक समांतर चतुर्भुज के शीर्ष के विपरीत तिरछे का वर्ग दो पक्षों के वर्गों के योग के बराबर होता है, जो कहा जाता है उस शीर्ष के कोण के कोसाइन द्वारा उन पक्षों के दोहरे उत्पाद को घटाना और घटाना:

g ² = a ² + d ² - 2 विज्ञापन Cos (α)

समांतर चतुर्भुज का नियम

किसी भी समांतर चतुर्भुज में, इसके पक्षों के वर्गों का योग विकर्णों के वर्गों के योग के बराबर होता है:

एक ² + बी ² + सी ² + डी ² = एफ ² + जी ²

पुनः ctángulo

आयत एक चतुर्भुज है जिसके विपरीत पक्ष दो से दो समानांतर हैं और जिसमें एक समकोण भी है। दूसरे शब्दों में, आयत समकोण का एक प्रकार है जिसमें समकोण होता है। क्योंकि यह एक समांतर चतुर्भुज है, आयत में बराबर लंबाई के विपरीत पक्ष a = c और b = d होते हैं।

लेकिन जैसा कि किसी भी समांतर चतुर्भुज में आसन्न कोण आयताकार में पूरक और विपरीत कोण समान होते हैं, क्योंकि इसमें एक समकोण होता है, यह आवश्यक रूप से अन्य तीन कोणों में समकोण बनाएगा। दूसरे शब्दों में, एक आयत में सभी आंतरिक कोण 90π या a / 2 रेडियन मापते हैं।

एक आयत के विकर्ण

एक आयत में विकर्ण समान लंबाई के होते हैं, जैसा कि नीचे प्रदर्शित किया जाएगा। तर्क इस प्रकार है; आयत एक समांतर चतुर्भुज है जिसमें सभी समकोण हैं और इसलिए समांतर चतुर्भुज के सभी गुणों को विरासत में मिलाते हैं, जिसमें सूत्र है जो विकर्णों की लंबाई देता है:

f ² = a ² + d ² + 2 विज्ञापन Cos (α)

g ² = a ² + d ² - 2 विज्ञापन Cos (α)

α = 90 के साथ

चूंकि Cos (90:) = 0, तब ऐसा होता है कि:

f ² = g ² = a ² + d ²

अर्थात्, f = g, और इसलिए आयत के दो विकर्णों की लंबाई f और g बराबर हैं और उनकी लंबाई इस प्रकार दी गई है:

इसके अलावा, यदि एक आयत में आसन्न भुजाओं के साथ a और b एक भुजा को आधार के रूप में लिया जाता है, तो दूसरी भुजा ऊँचाई पर होगी और परिणामस्वरूप आयत का क्षेत्रफल होगा:

आयत का क्षेत्रफल = ax b।

परिधि आयत के सभी पक्षों का योग है, लेकिन चूंकि विपरीत समान हैं, यह निम्नानुसार है कि पक्षों और ख के साथ एक आयत के लिए परिधि निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी गई है:

आयत की परिधि = 2 (a + b)

चित्रा 7. पक्षों और बी के साथ आयत। विकर्ण f और g समान लंबाई के हैं। स्रोत: एफ। ज़पाटा

वर्ग

वर्ग एक आयत है जिसके समीप की भुजाएँ समान लंबाई की हैं। यदि वर्ग में पक्ष है, तो इसके विकर्ण f और g की लंबाई समान है, जो f = g = ()2) a है।

एक वर्ग का क्षेत्रफल इसकी भुजा है:

एक वर्ग का क्षेत्रफल = ^२

एक वर्ग की परिधि दो बार होती है:

एक वर्ग = 4 ए की परिधि

चित्रा 8. साइड ए के साथ स्क्वायर, इसके क्षेत्र, इसकी परिधि और इसके विकर्णों की लंबाई का संकेत। स्रोत: एफ। ज़पाटा ।।

हीरा

समभुज एक समांतर चतुर्भुज होता है जिसके समीप की भुजाएँ समान लंबाई की होती हैं, लेकिन चूँकि समांतर चतुर्भुज में विपरीत भुजाएँ समान होती हैं, तो एक समांतर भुजा के सभी भुजाएँ समान होती हैं।

एक समभुज के विकर्ण अलग-अलग लंबाई के होते हैं, लेकिन वे समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं।

चित्रा 9. पक्ष का रंध्र, इसके क्षेत्र, इसकी परिधि और इसके विकर्णों की लंबाई को दर्शाता है। स्रोत: एफ। ज़पाटा

उदाहरण

उदाहरण 1

दिखाएँ कि एक चतुर्भुज (पार नहीं) आंतरिक कोण 360 to तक जोड़ते हैं।

चित्र 10: यह दिखाया गया है कि चतुर्भुज के कोणों का योग 360 It तक कैसे है। स्रोत: एफ। ज़पाटा

एक चतुर्भुज ABCD माना जाता है (चित्र 10 देखें) और विकर्ण BD खींचा जाता है। दो त्रिकोण ABD और BCD बनते हैं। त्रिभुज ABD के आंतरिक कोण का योग है:

α + º ₁ + δ ₁ = 180β

और त्रिभुज BCD के आंतरिक कोण का योग है:

β2 + β + = ₂ = 180γ

हमारे द्वारा प्राप्त दो समीकरणों को जोड़ना:

α + β ₁ + δ ₁ + β ₂ + γ + δ ₂ = 180 º + 180 º

समूहन:

α + (+ ₁ +) ₂) + (+ ₁ + + ₂) + 2 = 2 * 180β

समूहीकरण और नाम बदलने से, यह अंततः दिखाया गया है कि:

α + º + δ + γ = 360β

उदाहरण 2

दिखाओ कि एक ट्रेपोजॉइड का मध्य इसके आधारों के समानांतर है और इसकी लंबाई आधारों का अर्धव्यास है।

चित्रा 11. ट्रेपेज़ियम एबीसीडी के मेडियन एमएन। स्रोत: एफ। ज़पाटा

एक ट्रेपोज़ॉइड का मध्य भाग वह खंड है जो अपने पक्षों के मध्य बिंदुओं से जुड़ता है, अर्थात गैर-समानांतर पक्ष। ट्रेपोजॉइड एबीसीडी में आंकड़ा 11 में दिखाया गया है मंझला एमएन है।

चूंकि M AD का मध्य बिंदु है और N, BC का मध्य बिंदु है, इसलिए AM / AD और BN / BC अनुपात समान हैं।

अर्थात्, ई.पू. उसी अनुपात में बी.एन. के समानुपाती है, जैसा कि ई.पू.

"यदि आनुपातिक खंडों को तीन या दो से अधिक पंक्तियों में निर्धारित किया जाता है, तो ये रेखाएं सभी समानांतर होती हैं।"

हमारे मामले में यह निष्कर्ष निकाला गया है कि लाइनें MN, AB और DC एक दूसरे के समानांतर हैं, इसलिए:

"एक ट्रेपोज़ॉइड का माध्य इसके आधारों के समानांतर है।"

अब थेल्स प्रमेय लागू किया जाएगा:

"दो या दो से अधिक सेकेंडरों द्वारा काटे गए समानताओं का एक सेट आनुपातिक खंडों को निर्धारित करता है।"

हमारे मामले में AD = 2 AM, AC = 2 AO है, इसलिए त्रिभुज DAC त्रिभुज MAO के समान है, और परिणामस्वरूप DC = 2 MO।

एक समान तर्क हमें यह पुष्टि करने की अनुमति देता है कि सीएबी कॉन के समान है, जहां सीए = 2 सीओ और सीबी = 2 सीएन। यह तुरंत AB = 2 ON का अनुसरण करता है।

संक्षेप में, AB = 2 ON और DC = 2 MO। इसलिए जब हम जोड़ते हैं:

AB + DC = 2 ON + 2 MO = 2 (MO + ON) = 2 MN

अंत में MN साफ़ हो गया:

MN = (AB + DC) / 2

और यह निष्कर्ष निकाला गया है कि एक ट्रेपोजॉइड का मध्यमान आधारों के अर्ध-योग को मापता है, या एक और तरीका रखता है: मंझला दो के आधार पर आधारों के योग को मापता है।

उदाहरण 3

दिखाएँ कि एक समभुज में विकर्ण समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं।

चित्रा 12. Rhombus और प्रदर्शन कि इसके विकर्ण समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं। स्रोत: एफ। ज़पाटा

आंकड़ा 12 में ब्लैकबोर्ड आवश्यक निर्माण को दर्शाता है। सर्वप्रथम समांतर चतुर्भुज ABCD AB = BC, यानि एक समभुज के साथ बनाया गया है। विकर्ण एसी और DB आंकड़े में दिखाए गए आठ कोणों का निर्धारण करते हैं।

प्रमेय (aip) का उपयोग करना, जो बताता है कि एक सेक्युलर द्वारा निर्धारित समानताओं के बीच वैकल्पिक आंतरिक कोण समान कोण निर्धारित करते हैं, हम निम्नलिखित की स्थापना कर सकते हैं:

α ₁ = γ ₁, α2 = γ2, δ ₁ = β ₁ और δ2 = β2। (*)

दूसरी ओर, चूंकि एक समभुज के समीपवर्ती भाग समान लंबाई के होते हैं, चार समद्विबाहु त्रिभुज निर्धारित किए जा सकते हैं:

डीएबी, बीसीडी, सीडीए और एबीसी

अब त्रिभुज (समद्विबाहु) प्रमेय का प्रयोग किया जाता है, जिसमें कहा गया है कि आधार से सटे कोण समान माप के हैं, जिससे यह निष्कर्ष निकाला जाता है कि:

δ ₁ =,2, δ2 = ₁, α2 = = ₁ और α ₁ = β2 (**)

यदि संबंधों (*) और (**) को मिला दिया जाता है, तो कोणों की निम्नलिखित समानता तक पहुँच जाती है:

α ₁ = α2 = γ ₁ = γ ₁ एक हाथ और β पर ₁ = β2 = δ ₁ = δ2 दूसरे पर।

समान त्रिभुज प्रमेय को याद करते हुए कहा गया है कि दो त्रिभुज दो समान कोणों के बीच एक समान भुजा वाले होते हैं, हम हैं:

AOD = AOB और फलस्वरूप कोण भी =AOD =.AOB।

तब ºAOD + OBAOB = 180 but, लेकिन चूंकि दोनों कोण समान माप के हैं, इसलिए हमारे पास 2 ºAOD = 180∡ हैं, जिसका अर्थ है कि ∡AOD = 90º।

यही है, यह ज्यामितीय रूप से दिखाया गया है कि एक समभुज के विकर्ण समकोण पर स्थित हैं।

अभ्यास से हल हुआ

- अभ्यास 1

दिखाएँ कि एक समकोण में, गैर-समकोण अनुपूरक हैं।

उपाय

चित्रा 13. सही ट्रेपोज़ॉइड। स्रोत: एफ। ज़पाटा

ट्रेपेज़ॉइड एबीसीडी का निर्माण आधार एबी और डीसी समानांतर के साथ किया जाता है। वर्टेक्स ए का आंतरिक कोण सही है (यह 90, मापता है), इसलिए हमारे पास एक सही ट्रेपोजॉइड है।

कोण α और δ दो समानताएं AB और DC के बीच आंतरिक कोण हैं, इसलिए वे समान हैं, अर्थात, = = α = 90º।

दूसरी ओर, यह दिखाया गया है कि एक चतुर्भुज के आंतरिक कोणों का योग 360º तक है, जो है:

α + º + γ + δ = 90β + º + 90δ + β = 360º।

ऊपर की ओर जाता है:

β + δ = 180º

यह दिखाने की पुष्टि करना चाहता था कि कोण wanted और wanted पूरक हैं।

- व्यायाम २

एक समांतर चतुर्भुज ABCD में AB = 2 सेमी और AD = 1 सेमी है, इसके अलावा कोण BAD 30º है। इस समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल और उसके दो विकर्णों की लंबाई निर्धारित करें।

उपाय

एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्र इसके आधार की लंबाई और इसकी ऊंचाई का उत्पाद है। इस मामले में, खंड बी = एबी = 2 सेमी की लंबाई को आधार के रूप में लिया जाएगा, दूसरे पक्ष की लंबाई = एडी = 1 सेमी है और ऊंचाई एच की गणना निम्नानुसार की जाएगी:

h = AD * सेन (30º) = 1 सेमी * (1/2) = (सेमी।

तो: क्षेत्र = बी * एच = 2 सेमी * 1 सेमी = 1 सेमी ² ।

संदर्भ

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