बीजगणितीय व्युत्पन्न (उदाहरण के साथ) - गणित - 2025

बीजीय डेरिवेटिव बीजीय कार्यों के मामले में व्युत्पन्न के अध्ययन से मिलकर बनता है। व्युत्पन्न की धारणा की उत्पत्ति प्राचीन ग्रीस में हुई। इस धारणा का विकास दो महत्वपूर्ण समस्याओं को हल करने की आवश्यकता से प्रेरित था, एक भौतिकी में और दूसरा गणित में।

भौतिकी में, व्युत्पन्न एक गतिशील वस्तु के तात्कालिक वेग को निर्धारित करने की समस्या को हल करता है। गणित में, यह आपको दिए गए बिंदु पर वक्र की स्पर्शरेखा रेखा खोजने की अनुमति देता है।

यद्यपि वास्तव में कई और समस्याएं हैं जो व्युत्पन्न का उपयोग करके हल की गई हैं, साथ ही इसके सामान्यीकरण, परिणाम जो इसकी अवधारणा की शुरुआत के बाद आए थे।

अंतर पथरी के अग्रदूत न्यूटन और लाइबनिज हैं। औपचारिक परिभाषा देने से पहले, हम इसके पीछे एक गणितीय और भौतिक दृष्टिकोण से विचार विकसित करने जा रहे हैं।

वक्र के लिए स्पर्शरेखा रेखा के ढलान के रूप में व्युत्पन्न

मान लीजिए कि एक फ़ंक्शन y = f (x) का ग्राफ एक निरंतर ग्राफ है (बिना चोटियों या कोने या अंतराल के), और A = (a, f (a)) इस पर एक निश्चित बिंदु है। हम बिंदु A पर फ़ंक्शन f के ग्राफ पर रेखा स्पर्शरेखा के समीकरण को खोजना चाहते हैं।

चलो ग्राफ पर किसी भी अन्य बिंदु P = (x, f (x)) को बिंदु A के करीब ले जाते हैं, और A और P से गुजरने वाली secant line को खींचते हैं। A secant line वह रेखा है जो वक्र के ग्राफ को एक-एक करके काटती है। या अधिक अंक।

हम जो स्पर्शरेखा रेखा प्राप्त करना चाहते हैं उसे प्राप्त करने के लिए, हमें केवल ढलान की गणना करने की आवश्यकता है क्योंकि हमारे पास पहले से ही रेखा पर एक बिंदु है: बिंदु A

यदि हम ग्राफ के साथ बिंदु P को स्थानांतरित करते हैं और बिंदु A के करीब और करीब आते हैं, तो पहले उल्लिखित सेकेंट लाइन उस स्पर्शरेखा रेखा के पास जाएगी, जिसे हम खोजना चाहते हैं। जब सीमा "पी को ए" की ओर ले जाती है, तो दोनों रेखाएं मेल खाती हैं, इसलिए उनकी ढलान भी।

सेकंड लाइन की ढलान किसके द्वारा दी गई है

यह कहना कि P A के समीप है, यह कहने के बराबर है कि "x" दृष्टिकोण "a"। इस प्रकार, बिंदु A पर f के ग्राफ पर स्पर्शरेखा रेखा का ढलान बराबर होगा:

उपरोक्त अभिव्यक्ति को f '(a) द्वारा दर्शाया गया है, और इसे "a" बिंदु पर एक फ़ंक्शन f के व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया गया है। इसलिए हम देखते हैं कि विश्लेषणात्मक रूप से, एक बिंदु पर एक फ़ंक्शन का व्युत्पन्न एक सीमा है, लेकिन ज्यामितीय रूप से, यह बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ के लिए स्पर्शरेखा रेखा का ढलान है।

अब हम इस धारणा को भौतिकी के दृष्टिकोण से देखेंगे। हम पिछली सीमा की एक ही अभिव्यक्ति पर पहुंचेंगे, हालांकि एक अलग रास्ते से, इस प्रकार परिभाषा की एकमतता प्राप्त होती है।

गतिमान वस्तु के तात्कालिक वेग के रूप में व्युत्पन्न

आइए एक संक्षिप्त उदाहरण देखें कि तात्कालिक वेग का क्या अर्थ है। जब यह कहा जाता है, उदाहरण के लिए, कि गंतव्य तक पहुंचने के लिए एक कार ने 100 किमी प्रति घंटे की गति के साथ ऐसा किया, जिसका अर्थ है कि एक घंटे में यह 100 किमी की यात्रा करता है।

यह जरूरी नहीं है कि पूरे घंटे के दौरान कार हमेशा 100 किमी थी, कार के स्पीडोमीटर कुछ क्षणों में कम या अधिक हो सकते हैं। यदि आपको ट्रैफिक लाइट पर रुकने की आवश्यकता थी, तो उस समय आपकी गति 0 किमी थी। हालांकि, एक घंटे के बाद, यात्रा 100 किमी थी।

यह वह है जिसे औसत गति के रूप में जाना जाता है और यात्रा की गई दूरी और समय बीतने के भागफल के द्वारा दिया जाता है, जैसा कि हमने अभी देखा है। दूसरी ओर, तात्कालिक गति वह है जो किसी दिए गए तत्काल (समय) पर कार के स्पीडोमीटर की सुई को चिह्नित करती है।

आइए इसे अब और अधिक सामान्य रूप से देखें। मान लीजिए कि कोई वस्तु एक रेखा के साथ चलती है और यह विस्थापन समीकरण s = f (t) द्वारा दर्शाया जाता है, जहाँ चर t उपाय समय और चर s विस्थापन को दर्शाता है, इसकी शुरुआत को ध्यान में रखते हुए। तत्काल टी = 0, जिस समय यह शून्य भी है, अर्थात, एफ (0) = 0।

इस फ़ंक्शन f (t) को स्थिति फ़ंक्शन के रूप में जाना जाता है।

एक निश्चित तात्कालिक "ए" पर वस्तु के तात्कालिक वेग के लिए एक अभिव्यक्ति मांगी जाती है। इस गति से हम इसे V (a) द्वारा निरूपित करेंगे।

आज्ञा देना किसी भी तात्कालिक "तत्काल" के करीब है। "ए" और "टी" के बीच के समय के अंतराल में, वस्तु की स्थिति में परिवर्तन f (t) -f (a) द्वारा दिया जाता है।

इस समय अंतराल में औसत गति है:

जो तात्कालिक वेग V (a) का एक अनुमान है। यह सन्निकटन बेहतर होगा क्योंकि t "a" के करीब जाता है। इस प्रकार,

ध्यान दें कि यह अभिव्यक्ति पिछले मामले में प्राप्त एक के समान है, लेकिन एक अलग दृष्टिकोण से। यह वह है जो एक बिंदु "एफ" पर एक फ़ंक्शन च के व्युत्पन्न के रूप में जाना जाता है और इसे ऊपर दिए गए अनुसार एफ '(ए) द्वारा दर्शाया जाता है।

ध्यान दें कि परिवर्तन को h = xa बनाने के बाद, हमारे पास यह है कि जब "x" "a", "h" से 0 पर जाता है, और पिछली सीमा को (समतुल्य) रूपांतरित कर दिया जाता है:

दोनों अभिव्यक्तियाँ समान हैं लेकिन कभी-कभी मामले के आधार पर एक के बजाय एक का उपयोग करना बेहतर होता है।

किसी फ़ंक्शन f के व्युत्पन्न को उसके डोमेन से संबंधित किसी भी बिंदु "x" पर तब अधिक सामान्य तरीके से परिभाषित किया जाता है

एक फ़ंक्शन y = f (x) के व्युत्पन्न का प्रतिनिधित्व करने के लिए सबसे आम धारणा वह है जिसे हमने अभी देखा है (f 'या y')। हालाँकि, एक और व्यापक रूप से इस्तेमाल किया जाने वाला संकेतन है लिबनिज़ संकेतन, जिसे निम्न में से किसी भी अभिव्यक्ति के रूप में दर्शाया गया है:

चूंकि व्युत्पन्न अनिवार्य रूप से एक सीमा है, यह अस्तित्व में हो सकता है या नहीं भी हो सकता है, क्योंकि सीमाएं हमेशा मौजूद नहीं होती हैं। यदि यह मौजूद है, तो विचाराधीन फ़ंक्शन को दिए गए बिंदु पर अलग-अलग कहा जा सकता है।

बीजगणितीय कार्य

एक बीजीय कार्य इसके अलावा, घटाव, उत्पाद, उद्धरण, शक्तियां और मूलांक के अनुसार बहुपद का संयोजन है।

बहुपद रूप की अभिव्यक्ति है

P _n = a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 + a _-2 x ^n-2 +… + ₂ x ² + ₁ x + a ₀

जहाँ n एक प्राकृतिक संख्या है और _i, 0,1,…, n के साथ सभी एक _i, परिमेय संख्याएँ और _n ≠ 0 हैं। इस मामले में इस बहुपद की डिग्री n कहा जाता है।

निम्नलिखित बीजीय कार्यों के उदाहरण हैं:

घातांक, लघुगणक और त्रिकोणमितीय कार्य यहां शामिल नहीं हैं। व्युत्पत्ति नियम जो हम आगे देखेंगे, वे सामान्य रूप से कार्यों के लिए मान्य हैं, लेकिन हम खुद को प्रतिबंधित करेंगे और बीजगणितीय कार्यों के मामले में लागू करेंगे।

बाईपास के नियम

एक स्थिर के व्युत्पन्न

राज्यों का कहना है कि एक स्थिर का व्युत्पन्न शून्य है। अर्थात्, यदि f (x) = c, तो f '(x) = 0। उदाहरण के लिए, स्थिर फ़ंक्शन 2 का व्युत्पन्न 0 के बराबर है।

एक शक्ति की व्युत्पत्ति

यदि f (x) = x ⁿ, तो f '(x) = nx ^n-1 । उदाहरण के लिए, x ³ का व्युत्पन्न 3x ^{2 है} । इसके परिणामस्वरूप, हम प्राप्त करते हैं कि पहचान फ़ंक्शन f (x) = x f का व्युत्पन्न है 'x (x) = 1x ^1-1 = x ⁰ = 1।

एक अन्य उदाहरण निम्नलिखित है: f (x) = 1 / x ², फिर f (x) = x ^-2 और f '(x) = - 2x ^-2-1 = -2x ^-3 ।

यह संपत्ति भी मान्य जड़ें हैं, क्योंकि जड़ें तर्कसंगत शक्तियां हैं और उपरोक्त को उस स्थिति में भी लागू किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक वर्गमूल के व्युत्पन्न द्वारा दिया जाता है

जोड़ और घटाव की व्युत्पत्ति

यदि x में f और g अलग-अलग कार्य हैं, तो f + g भी भिन्न है और यह संतुष्ट है कि (f + g) '(x) = f' (x) + g '(x) है।

इसी तरह, हमारे पास (fg) '(x) = f' (x) -g '(x) है। दूसरे शब्दों में, एक योग (घटाव) का व्युत्पन्न, व्युत्पत्ति का योग (या घटाव) होता है।

उदाहरण

यदि h (x) = x ² + x-1 है, तो

h '(x) = (x ²) + (x)' - (1) '= 2x + 1-0 = 2x + 1।

एक उत्पाद से व्युत्पन्न

यदि x में f और g अलग-अलग कार्य हैं, तो x में उत्पाद fg भी भिन्न होता है और यह सच है

(fg) '(x) = f' (x) g (x) + f (x) g '(x)।

परिणामस्वरूप, यह निम्नानुसार है कि यदि c एक स्थिर है और x में एक अलग कार्य है, तो cf भी x और (cf) '(x) = cf' (X) में भिन्न है।

उदाहरण

यदि f (x) = 3x (x ² +1), तो

f '(x) = (3x)' (x ² +1) + (3x) (x ² +1) '= 3 (x)' (x ² +1) + 3x

= 3 (1) (x ² +1) + 3x = 3 (x ² +1) + 3x (2x) = 3x ² + 3 + 6x ²

= 9x ² +3।

एक भागफल के व्युत्पन्न

यदि x और g (x) then 0 पर f और g अलग-अलग हैं, तो f / g भी x पर भिन्न है, और यह सच है कि

उदाहरण: यदि h (x) = x ³ / (x ² -5x), तो

h '(x) = / (x ⁵ -5x) ² = / (x ⁵ -5x) ² ।

श्रृंखला नियम

यह नियम कार्यों की संरचना को प्राप्त करने की अनुमति देता है। निम्नलिखित का वर्णन करें: यदि y = f (u) u पर भिन्न है, तो y = g (x) x पर भिन्न है, तो मिश्रित फ़ंक्शन f (g (x)) x पर भिन्न होता है, और यह सत्य है कि '= f '(जी (एक्स)) जी' (एक्स)।

अर्थात्, एक संयुक्त कार्य की व्युत्पत्ति बाहरी कार्य (बाहरी व्युत्पन्न) और आंतरिक कार्य (आंतरिक व्युत्पन्न) के व्युत्पन्न के उत्पाद है।

उदाहरण

यदि f (x) = (x ⁴ -2x) ^{3 है}, तो

f '(x) = 3 (x ⁴ -2x) ² (x ⁴ -2x)' = 3 (x ⁴ -2x) ² (4x ³ -2)।

किसी फ़ंक्शन के व्युत्क्रम की गणना करने के साथ-साथ उच्च-क्रम डेरिवेटिव के सामान्यीकरण के लिए भी परिणाम हैं। आवेदन व्यापक हैं। उनमें से, अनुकूलन समस्याओं और अधिकतम और न्यूनतम कार्यों में इसकी उपयोगिता बाहर खड़ी है।

संदर्भ

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