क्रमिक व्युत्पत्ति (अभ्यास के साथ हल) - गणित - 2025

लगातार डेरिवेटिव दूसरा व्युत्पन्न के बाद एक समारोह से प्राप्त होते हैं। क्रमिक व्युत्पन्न की गणना करने की प्रक्रिया निम्नलिखित है: हमारे पास एक फ़ंक्शन च है, जिसे हम प्राप्त कर सकते हैं और इस प्रकार व्युत्पन्न कार्य प्राप्त कर सकते हैं '। हम च के इस व्युत्पन्न को फिर से प्राप्त कर सकते हैं, प्राप्त करना (f ')'।

इस नए फ़ंक्शन को दूसरा व्युत्पन्न कहा जाता है; दूसरे से गणना की गई सभी व्युत्पन्न क्रमिक हैं; इन्हें उच्चतर क्रम भी कहा जाता है, इनमें महान अनुप्रयोग होते हैं, जैसे कि एक कार्य के ग्राफ की साजिश के बारे में जानकारी देना, रिश्तेदार चरम के लिए दूसरे व्युत्पन्न का परीक्षण और अनंत श्रृंखला का निर्धारण।

परिभाषा

लाइबनिट्स संकेतन का उपयोग करते हुए, हमारे पास यह है कि "x" के संबंध में एक फ़ंक्शन "y" का व्युत्पन्न डाई या dx है। लीबनीज संकेतन का उपयोग करके "y" के दूसरे व्युत्पन्न को व्यक्त करने के लिए, हम इस प्रकार लिखते हैं:

सामान्य तौर पर, हम लिबनिज़ संकेतन के साथ क्रमिक व्युत्पन्न को व्यक्त कर सकते हैं, जहाँ n व्युत्पन्न के क्रम का प्रतिनिधित्व करता है।

उपयोग की जाने वाली अन्य सूचनाएं निम्नलिखित हैं:

कुछ उदाहरण जहां हम विभिन्न संकेतन देख सकते हैं:

उदाहरण 1

द्वारा परिभाषित फ़ंक्शन च के सभी व्युत्पन्न प्राप्त करें:

सामान्य व्युत्पत्ति तकनीकों का उपयोग करते हुए, हमारे पास यह है कि एफ का व्युत्पन्न है:

प्रक्रिया को दोहराकर हम दूसरा व्युत्पन्न, तीसरा व्युत्पन्न, और इसी तरह प्राप्त कर सकते हैं।

ध्यान दें कि चौथा व्युत्पन्न शून्य है और शून्य का व्युत्पन्न शून्य है, इसलिए हमारे पास है:

उदाहरण 2

निम्नलिखित फ़ंक्शन के चौथे व्युत्पन्न की गणना करें:

दिए गए फ़ंक्शन को प्राप्त करना हमारे पास परिणाम के रूप में है:

गति और त्वरण

व्युत्पत्ति की खोज के लिए प्रेरित प्रेरणाओं में से एक तात्कालिक वेग की परिभाषा की खोज थी। औपचारिक परिभाषा इस प्रकार है:

बता दें कि y = f (t) एक ऐसा फंक्शन है जिसका ग्राफ समय t पर किसी कण के प्रक्षेपवक्र का वर्णन करता है, तो समय t पर इसका वेग निम्न द्वारा दिया जाता है:

एक बार एक कण का वेग प्राप्त हो जाने के बाद, हम तात्कालिक त्वरण की गणना कर सकते हैं, जिसे निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

एक कण जिसका तात्कालिक त्वरण y = f (t) द्वारा दिया गया है:

उदाहरण 1

एक कण स्थिति समारोह के अनुसार एक रेखा के साथ चलता है:

जहां "y" को मीटर और सेकंड में "t" से मापा जाता है।

- इसकी गति 0 पर क्या है?

- इसकी त्वरण 0 पर क्या तात्कालिक है?

जब «और» स्थिति को प्राप्त करते हैं तो हमारे पास इसके वेग और त्वरण क्रमशः दिए जाते हैं:

पहले प्रश्न का उत्तर देने के लिए, यह निर्धारित करने के लिए पर्याप्त है कि फ़ंक्शन v शून्य हो गया है; ये है:

हम निम्नलिखित प्रश्न को एक अनुरूप तरीके से आगे बढ़ाते हैं:

उदाहरण 2

गति के निम्नलिखित समीकरण के अनुसार एक कण एक रेखा के साथ चलता है:

निर्धारित करें "t, y" और "v" जब a = 0।

यह जानते हुए कि गति और त्वरण द्वारा दिया जाता है

हम प्राप्त करते हैं और प्राप्त करते हैं:

एक = 0 बनाना, हमारे पास है:

जहां से हम यह घटा सकते हैं कि शून्य के बराबर होने के लिए t का मान t = 1 है।

फिर, t = 1 पर स्थिति फ़ंक्शन और वेग फ़ंक्शन का मूल्यांकन, हमारे पास है:

अनुप्रयोग

स्पष्ट व्युत्पत्ति

व्युत्पन्न व्युत्पन्न द्वारा भी लगातार व्युत्पन्न प्राप्त किया जा सकता है।

उदाहरण

निम्नलिखित दीर्घवृत्त को देखते हुए, "y" ढूंढें:

X के संबंध में संक्षेप में, हमारे पास है:

फिर एक्स के संबंध में फिर से व्युत्पन्न हमें देता है:

अंत में, हमारे पास है:

रिश्तेदार चरम सीमा

एक और उपयोग जिसे हम दूसरे क्रम के डेरिवेटिव को दे सकते हैं वह एक फ़ंक्शन के सापेक्ष चरम की गणना में है।

स्थानीय चरम सीमाओं के लिए पहले व्युत्पन्न की कसौटी हमें बताती है कि, अगर हमारे पास एक अंतराल (ए, बी) पर एक निरंतर कार्य एफ है और एक सी है जो उक्त अंतराल से संबंधित है जैसे कि एफ 'सी में गायब हो जाता है (अर्थात, सी) एक महत्वपूर्ण बिंदु है), तीन मामलों में से एक हो सकता है:

- यदि (ए, सी) और एफ x (एक्स) से संबंधित किसी भी एक्स (सी, बी) से संबंधित किसी भी x के लिए f belonging (x)> 0 है, तो f (c) एक स्थानीय अधिकतम है।

- अगर (सी, बी) से संबंधित किसी भी x (c, b) से संबंधित किसी भी x के लिए f If (x) <0 है, तो f (c) स्थानीय न्यूनतम है।

- अगर f ((x) का साइन इन (a, c) और (c, b) में है, तो इसका मतलब है कि f (c) लोकल एक्सट्रीम नहीं है।

दूसरे व्युत्पन्न की कसौटी का उपयोग करके हम यह जान सकते हैं कि किसी फ़ंक्शन की महत्वपूर्ण संख्या एक स्थानीय अधिकतम या न्यूनतम है, बिना यह देखने के लिए कि फ़ंक्शन का संकेत उपर्युक्त अंतराल में क्या है।

दूसरा बहाव मानदंड हमें बताता है कि अगर f dr (c) = 0 और वह f x (x) निरंतर (a, b) में है, तो ऐसा होता है कि यदि f´´ (c)> 0 तो f (c) एक स्थानीय न्यूनतम है और यदि f´´ (c) <0 है तो f (c) स्थानीय अधिकतम है।

यदि f If (c) = 0, हम कुछ भी निष्कर्ष नहीं निकाल सकते हैं।

उदाहरण

फ़ंक्शन को देखते हुए f (x) = x ⁴ + (4/3) x ³ - 4x ², दूसरी व्युत्पन्न की कसौटी का उपयोग करके f के सापेक्ष मैक्सिमा और मिनिमा ज्ञात करें।

पहले हम f) (x) और f´´ (x) की गणना करते हैं और हमारे पास:

f (x) = 4x ³ + 4x ² - 8x

f (x) = 12x ² + 8x - 8

अब, f only (x) = 0 यदि, और केवल यदि 4x (x + 2) (x - 1) = 0, और यह तब होता है जब x = 0, x = 1 या x = - 2 होता है।

यह निर्धारित करने के लिए कि प्राप्त महत्वपूर्ण संख्या सापेक्ष चरम हैं, यह f thus पर मूल्यांकन करने के लिए पर्याप्त है और इस प्रकार इसके संकेत का निरीक्षण करें।

f (0) = - 8, इसलिए f (0) एक स्थानीय अधिकतम है।

f (1) = 12, इसलिए f (1) एक स्थानीय न्यूनतम है।

f (- 2) = 24, इसलिए f (- 2) एक स्थानीय न्यूनतम है।

टेलर श्रृंखला

चलो एक समारोह के रूप में परिभाषित किया गया है:

इस फ़ंक्शन में अभिसरण R> 0 का त्रिज्या है और (-R, R) में सभी आदेशों का व्युत्पन्न है। च के क्रमिक व्युत्पन्न हमें देते हैं:

X = 0 को लेते हुए, हम c _n के मान को उनके व्युत्पत्ति के कार्य के रूप में प्राप्त कर सकते हैं:

यदि हम a = 0 को फंक्शन f (अर्थात, f ^ 0 = f) के रूप में लेते हैं, तो हम फंक्शन को फिर से लिख सकते हैं:

अब x = a पर शक्तियों की एक श्रृंखला के रूप में कार्य पर विचार करते हैं:

यदि हम पिछले एक के अनुरूप विश्लेषण करते हैं, तो हम यह चाहेंगे कि हम फ़ंक्शन को f के रूप में लिख सकें:

इन श्रृंखलाओं को f से a तक टेलर श्रृंखला के रूप में जाना जाता है। जब एक = 0 हमारे पास विशेष मामला होता है जिसे मैक्लॉरिन श्रृंखला कहा जाता है। इस प्रकार की श्रृंखला विशेष रूप से संख्यात्मक विश्लेषण में महान गणितीय महत्व की है, क्योंकि इनके लिए हम ई ^एक्स, पाप (एक्स) और कॉस (एक्स) जैसे कंप्यूटरों में कार्यों को परिभाषित कर सकते हैं ।

उदाहरण

ई ^{एक्स के} लिए मैकलॉरिन श्रृंखला प्राप्त करें ।

ध्यान दें कि यदि f (x) = e ^x, तो f ⁽ⁿ⁾ (x) = e ^x और f ⁽ⁿ⁾ (0) = 1 है, तो इसकी Maclaurin श्रृंखला है:

संदर्भ

1. फ्रैंक आयरेस, जे।, और मेंडल्सन, ई। (Nd)। गणना 5ed। मैक ग्रे हिल।
2. लीथोल्ड, एल। (1992)। विश्लेषणात्मक ज्यामिति के साथ गणना। हरला, SA
3. परसेल, ईजे, वरबर्ग, डी।, और रिग्डन, एसई (2007)। गणना। मेक्सिको: पियर्सन एजुकेशन।
4. साएंज़, जे। (2005)। अवक्षेपक कलन। कर्ण।
5. साएंज़, जे। (एनडी)। समाकलन गणित। कर्ण।