Additive अपघटन एक सकारात्मक पूर्णांक के दो या अधिक धनात्मक पूर्णांक की राशि के रूप में यह व्यक्त के होते हैं। इस प्रकार, हमारे पास संख्या 5 को 5 = 1 + 4, 5 = 2 + 3 या 5 = 1 + 2 + 2 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। संख्या 5 लिखने के इन तरीकों में से प्रत्येक को हम additive अपघटन कहेंगे।

यदि हम ध्यान दें तो हम देख सकते हैं कि भाव ५ = २ + ३ और ५ = ३ + २ एक ही रचना को दर्शाते हैं; उन दोनों की संख्या समान है। हालाँकि, सुविधा के लिए, प्रत्येक जोड़ को आमतौर पर न्यूनतम से उच्चतम तक की कसौटी पर लिखा जाता है।

योगात्मक अपघटन

एक अन्य उदाहरण के रूप में हम 27 नंबर ले सकते हैं, जिसे हम इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं:

27 = 7 + 10 + 10

27 = 9 + 9 + 9

27 = 3 + 6 + 9 + 9

27 = 9 + 18

Additive अपघटन एक बहुत ही उपयोगी उपकरण है जो हमें नंबरिंग सिस्टम के हमारे ज्ञान को सुदृढ़ करने की अनुमति देता है।

विहित additive अपघटन

जब हमारे पास दो से अधिक अंकों के साथ संख्या होती है, तो उन्हें विघटित करने का एक विशेष तरीका 10, 100, 1000, 10 000 आदि के गुणकों में होता है, जो इसे बनाते हैं। किसी भी संख्या को लिखने के इस तरीके को विहित योगात्मक अपघटन कहा जाता है। उदाहरण के लिए, संख्या 1456 को निम्नानुसार विघटित किया जा सकता है:

1456 = 1000 + 400+ 50 + 6

यदि हमारे पास संख्या 20 846 295 है, तो इसका विहित योगात्मक अपघटन होगा:

20 846 295 = 20,000,000 + 800,000 + 40,000 + 6000 + 200 + 90 +5।

इस अपघटन के लिए धन्यवाद, हम देख सकते हैं कि किसी दिए गए अंक का मूल्य उस स्थिति से दिया जाता है जो वह व्याप्त है। एक उदाहरण के रूप में संख्या 24 और 42 लेते हैं:

24 = 20 + 4

42 = 40 +2

यहां हम देख सकते हैं कि 24 में 2 का मूल्य 20 इकाइयों और 4 का 4 इकाइयों का मूल्य है; दूसरी ओर, ४२ में ४ में ४० इकाइयों का मूल्य है और दो में से २ इकाइयों का। इस प्रकार, हालांकि दोनों संख्याएं समान अंकों का उपयोग करती हैं, लेकिन उनके मूल्यों की स्थिति पूरी तरह से भिन्न होती है, क्योंकि वे जिस स्थान पर कब्जा करते हैं।

अनुप्रयोग

जो अनुप्रयोग हम योगात्मक अपघटन को दे सकते हैं उनमें से एक कुछ प्रकार के प्रमाणों में है, जिसमें एक सकारात्मक पूर्णांक को दूसरों के योग के रूप में देखना बहुत उपयोगी है।

उदाहरण प्रमेय

आइए एक उदाहरण के रूप में निम्नलिखित प्रमेय को अपने संबंधित प्रमाणों के साथ लेते हैं।

- Z को 4-अंकीय पूर्णांक बनाते हैं, तो Z 5 से विभाज्य है यदि इकाइयों के अनुरूप आंकड़ा शून्य या पांच है।

प्रदर्शन

हमें याद रखें कि विभाजन क्या है। यदि हमारे पास "ए" और "बी" पूर्णांक हैं, तो हम कहते हैं कि यदि एक पूर्णांक "ग" मौजूद है तो "ए" विभाजन "बी" ऐसा है कि बी = ए * सी।

विभाज्यता का एक गुण हमें बताता है कि यदि "a" और "b" "c" से विभाज्य हैं, तो घटाव "ab" भी विभाज्य है।

Z को 4-अंकीय पूर्णांक होने दें; इसलिए, हम Z को Z = ABCD के रूप में लिख सकते हैं।

हमारे पास विहित योगात्मक अपघटन का उपयोग करना:

जेड = ए * 1000 + बी * 100 + सी * 10 + डी

यह स्पष्ट है कि A * 1000 + B * 100 + C * 10 5 से विभाज्य है। इस कारण से हमारे पास Z 5 से विभाज्य है यदि Z - (A * 1000 + B * 100 + C * 10) 5 से विभाज्य है।

लेकिन Z - (A * 1000 + B * 100 + C * 10) = D और D एक एकल अंक संख्या है, इसलिए इसके लिए 5 से विभाज्य होने का एकमात्र तरीका इसके लिए 0 या 5 है।

इसलिए, Z 5 से विभाज्य है यदि D = 0 या D = 5।

ध्यान दें कि यदि Z के पास n अंक है तो प्रमाण बिल्कुल समान है, यह केवल यह बदलता है कि अब हम Z = A ₁ A ₂ … A _n लिखेंगे और उद्देश्य यह साबित करना होगा कि A _n शून्य या पांच है।

विभाजन

हम कहते हैं कि एक सकारात्मक पूर्णांक का एक विभाजन एक तरीका है जिससे हम एक संख्या को सकारात्मक पूर्णांक के योग के रूप में लिख सकते हैं।

एक योगात्मक अपघटन और एक विभाजन के बीच का अंतर यह है, जबकि पहला व्यक्ति चाहता है कि कम से कम इसे दो जोड़ या अधिक में विघटित किया जा सकता है, विभाजन में यह प्रतिबंध नहीं है।

इस प्रकार, हमारे पास निम्नलिखित हैं:

५ = ५

5 = 1 + 4

5 = 2 + 3

5 = 1 + 2 + 2

उपरोक्त 5 के विभाजन हैं।

यही है, हमारे पास है कि प्रत्येक योगात्मक अपघटन एक विभाजन है, लेकिन हर विभाजन जरूरी नहीं कि एक योगात्मक अपघटन है।

संख्या सिद्धांत में, अंकगणित की मौलिक प्रमेय गारंटी देती है कि प्रत्येक पूर्णांक को विशिष्ट रूप से primes के उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है।

विभाजन का अध्ययन करते समय, लक्ष्य यह निर्धारित करना है कि एक पूर्णांक को कितने पूर्णांक में अन्य पूर्णांकों के योग के रूप में लिखा जा सकता है। इसलिए, हम नीचे दिए गए अनुसार विभाजन फ़ंक्शन को परिभाषित करते हैं।

परिभाषा

विभाजन फ़ंक्शन p (n) को उन तरीकों की संख्या के रूप में परिभाषित किया जाता है जिन्हें सकारात्मक पूर्णांक n को सकारात्मक पूर्णांक के योग के रूप में लिखा जा सकता है।

5 के उदाहरण पर लौटते हुए, हमारे पास यह है:

५ = ५

5 = 1 + 4

5 = 2 + 3

5 = 1 + 1 + 3

5 = 1 + 2 + 2

5 = 1 + 1 + 1 + 2

5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1

इस प्रकार, पी (5) = 7।

ग्राफिक्स

दोनों विभाजन और एक संख्या n के योगात्मक decompositions को ज्यामितीय रूप से दर्शाया जा सकता है। मान लीजिए कि हमारे पास एक additive अपघटन है n। इस अपघटन में व्यसनों को व्यवस्थित किया जा सकता है ताकि योग के सदस्यों को कम से कम से सबसे बड़ा करने का आदेश दिया जाए। तो ठीक है:

n = ₁ a + ₂ a ₂ + a ₃ +… + a _r with

एक ₁ ≤ एक ₂ ≤ एक ₃ ≤… ≤ एक _आर ।

हम इस अपघटन को निम्नलिखित तरीके से ग्राफ कर सकते हैं: पहली पंक्ति में हम _1- अंक को चिह्नित करते हैं, फिर अगले में हम _2- अंक को चिह्नित करते हैं, और इसी तरह जब तक हम _r तक नहीं पहुँच जाते ।

उदाहरण के लिए संख्या २३ और उसके निम्नलिखित अपघटन को लें:

23 = 5 + 4 + 7 + 3 + 1 +3

हम इस अपघटन का आदेश देते हैं और हमारे पास है:

23 = 1 + 3 + 3 + 4+ 5 + 7

इसका संगत ग्राफ होगा: