त्रिभुज असमानता: प्रमाण, उदाहरण, हल किए गए अभ्यास - गणित - 2025

इसे असमान त्रिभुज गुण कहा जाता है जो दो वास्तविक संख्याओं को पूरा करता है जिसमें उनकी राशि के निरपेक्ष मान शामिल होते हैं जो हमेशा उनके पूर्ण मानों के योग से कम या बराबर होते हैं। इस संपत्ति को मिंकोव्स्की की असमानता या त्रिकोणीय असमानता के रूप में भी जाना जाता है।

संख्याओं की इस संपत्ति को त्रिकोणीय असमानता कहा जाता है क्योंकि त्रिकोणों में ऐसा होता है कि एक तरफ की लंबाई हमेशा अन्य दो के योग की तुलना में कम या बराबर होती है, भले ही यह असमानता हमेशा त्रिकोण के क्षेत्र में लागू नहीं होती है।

चित्र 1. दो संख्याओं के योग का निरपेक्ष मान उनके निरपेक्ष मानों के योग से हमेशा कम या बराबर होता है। (आर। पेरेज़ द्वारा तैयार)

वास्तविक संख्याओं में त्रिकोणीय असमानता के कई प्रमाण हैं, लेकिन इस मामले में हम निरपेक्ष मूल्य और द्विपद वर्ग के गुणों के आधार पर एक का चयन करेंगे।

प्रमेय: संख्याओं के प्रत्येक युग्म के लिए a और b वास्तविक संख्याओं से संबंधित हैं जो हमारे पास हैं:

- ए + बी - ≤ - ए - + - बी -

प्रदर्शन

हम असमानता के पहले सदस्य पर विचार करके शुरू करते हैं, जिसे चुकता किया जाएगा:

- a + b - ^ 2 = (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2 ab + b ^ 2 (Eq)।

पिछले चरण में हमने उस संपत्ति का उपयोग किया जो किसी भी संख्या में चुकता है, उक्त वर्ग की निरपेक्ष मान के बराबर है, वह है: -x- ^ 2 = x ^ 2। वर्ग द्विपद विस्तार का भी उपयोग किया गया है।

प्रत्येक संख्या x अपने पूर्ण मूल्य से कम या बराबर होती है। यदि संख्या सकारात्मक है तो यह बराबर है, लेकिन यदि संख्या नकारात्मक है तो यह हमेशा सकारात्मक संख्या से कम होगी। इस मामले में इसका अपना पूर्ण मूल्य है, अर्थात, यह कहा जा सकता है कि x - - x -।

उत्पाद (ab) एक संख्या है, इसलिए यह लागू होता है कि (ab) is - ab -। जब यह संपत्ति (Eq 1) हमारे पास लागू होती है:

- a + b - ^ 2 = a ^ 2 + 2 (ab) + b ^ 2 b a 2 2 + 2 - ab - + b ^ 2 (Eq। 2)

ध्यान में रखते हुए कि - ab - = - a - b - la (Eq। 2) इस प्रकार लिखा जा सकता है:

- a + b - ^ 2 ≤ a ^ 2 + 2 - a - b - + b ^ 2 (Eq। 3)

लेकिन चूंकि हमने पहले कहा था कि किसी संख्या का वर्ग वर्ग के निरपेक्ष मान के बराबर है, तो समीकरण 3 को फिर से लिखा जा सकता है:

- a + b - ^ 2 ≤ -a- ^ 2 + 2 -a-b- + -b- ^ (Eq। 4)।

असमानता के दूसरे सदस्य में, एक उल्लेखनीय उत्पाद को मान्यता दी जाती है, जिसे लागू करने पर निम्न होता है:

- a + b - ^ 2 ≤ (-a- + -b -) ^ 2 (Eq। 5)

पिछली अभिव्यक्ति में यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि असमानता के दोनों सदस्यों में होने वाले मूल्य सकारात्मक हैं, इसलिए यह भी संतुष्ट होना चाहिए कि:

- a + b - ≤ (-a- + -b-) (Eq। 6)

पिछली अभिव्यक्ति बिल्कुल वही है जो आप प्रदर्शित करना चाहते थे।

उदाहरण

आगे हम कई उदाहरणों के साथ त्रिकोणीय असमानता की जांच करेंगे।

उदाहरण 1

हम मान a = 2 लेते हैं और मान b = 5, अर्थात, दोनों धनात्मक संख्याएँ हैं और हम जाँचते हैं कि असमानता संतुष्ट है या नहीं।

- 2 + 5 ---2- + -5-

- 7 - 7 -2- + -5-

7 5 2+ 5

समानता सत्यापित है, इसलिए त्रिकोण असमानता प्रमेय पूरी हो गई है।

उदाहरण 2

निम्नलिखित मान a = 2 और b = -5 को चुना जाता है, अर्थात एक सकारात्मक संख्या और दूसरा ऋणात्मक, हम जांचते हैं कि असमानता संतुष्ट है या नहीं।

- 2 - 5 - ≤ -2- + - 5-

- -3 - -3 -2- + - 5-

3 5 2 + 5

असमानता संतुष्ट है, इसलिए त्रिकोणीय असमानता प्रमेय को सत्यापित किया गया है।

उदाहरण 3

हम मान a = -2 लेते हैं और मान b = 5, अर्थात एक ऋणात्मक संख्या और दूसरा धनात्मक, हम जाँचते हैं कि असमानता संतुष्ट है या नहीं।

- -2 + 5 - 2 - 2- + -5-

- 3 - 3 - 2- + -5-

3 5 2 + 5

असमानता सत्यापित है, इसलिए प्रमेय पूरा हो गया है।

उदाहरण 4

निम्नलिखित मान a = -2 और b = -5 को चुना गया है, अर्थात, दोनों ऋणात्मक संख्याएँ हैं और हम जाँचते हैं कि असमानता संतुष्ट है या नहीं।

- -2 - 5 - ≤ - 2- + - 5-

- -7 --- 2- + - 5-

7 5 2+ 5

समानता सत्यापित है, इसलिए मिंकोव्स्की की असमानता प्रमेय पूरी हो गई है।

उदाहरण 5

हम मान a = 0 और मान b = 5 लेते हैं, अर्थात एक संख्या शून्य और दूसरा धनात्मक, तो हम जाँचते हैं कि असमानता संतुष्ट है या नहीं।

- 0 + 5 ---0- + -5-

- 5 - 5 -0- + -5-

5 5 0+ 5

समानता पूरी हो गई है, इसलिए त्रिकोण असमानता प्रमेय को सत्यापित किया गया है।

उदाहरण 6

हम मान a = 0 लेते हैं और मान b = -7, अर्थात एक संख्या को शून्य और दूसरे को सकारात्मक कहते हैं, फिर हम जाँचते हैं कि असमानता संतुष्ट है या नहीं।

- 0 - 7 - ≤ -0- + --7-

- -7 ---0- + --7-

7 7 0+ 7

समानता सत्यापित है, इसलिए त्रिकोणीय असमानता प्रमेय को पूरा किया गया है।

हल किया हुआ व्यायाम

निम्नलिखित अभ्यासों में, संख्या a और b के लिए ज्यामितीय रूप से त्रिभुज असमानता या Minkowski असमानता का प्रतिनिधित्व करते हैं।

संख्या को एक्स अक्ष पर एक खंड के रूप में दर्शाया जाएगा, इसका मूल ओ एक्स अक्ष के शून्य के साथ मेल खाता है और खंड के दूसरे छोर (बिंदु पी पर) एक्स अक्ष के सकारात्मक दिशा (दाएं) में होगा यदि एक > 0, लेकिन अगर <0 यह एक्स अक्ष की नकारात्मक दिशा की ओर होगा, क्योंकि इसके निरपेक्ष मान के रूप में कई इकाइयां हैं।

इसी तरह, संख्या b को एक सेगमेंट के रूप में दर्शाया जाएगा, जिसका मूल बिंदु P पर है। दूसरा चरम, जो कि बिंदु P के दाईं ओर होगा यदि b धनात्मक है (b> 0) और बिंदु Q, -b होगा - पी के बाईं ओर इकाइयाँ अगर b <0।

अभ्यास 1

त्रिभुज की विषमता को ग्राफ के लिए a = 5 और b = 3 - a + b - equ - a - + - b -, जहां c = a + b।

व्यायाम २

एक = 5 और बी = -3 के लिए त्रिकोणीय असमानता का ग्राफ बनाएं।

- a + b - ≤ - a - + - b -, जहां c = a + b।

व्यायाम ३

रेखीय रूप से a = -5 और b = 3 के लिए त्रिभुज की असमानता दर्शाते हैं।

- a + b - ≤ - a - + - b -, जहां c = a + b।

व्यायाम ४

रेखांकन = -5 और बी = -3 के लिए त्रिकोणीय असमानता का निर्माण।

- a + b - ≤ - a - + - b -, जहां c = a + b।

संदर्भ

1. ई। सफेद। (1980)। बूलियन बीजगणित और इसके अनुप्रयोग। संपादकीय कंपनी कॉन्टिनेंटल सी.ए.
2. मिचेल ओ 'Searcoid। (2003) एलीमेंट्स ऑफ़ एब्सट्रैक्ट एनालिसिस। । गणित विभाग। यूनिवर्सिटी कॉलेज डबलिन, बेल्डफील्ड, डब्लिंड।
3. जे वान वक। (२००६) कंप्यूटर साइंस में गणित और इंजीनियरिंग। कंप्यूटर विज्ञान और प्रौद्योगिकी संस्थान। राष्ट्रीय मानक ब्यूरो। वाशिंगटन, डीसी 20234
4. एरिक लेहमैन। कंप्यूटर विज्ञान के लिए गणित। गूगल इंक।
5. एफ थॉमसन लीटन (1980)। पथरी। गणित विभाग और कंप्यूटर विज्ञान और ए.आई. प्रयोगशाला, मैसाचुसेट्स प्रौद्योगिकी संस्थान।
6. खान अकादमी। त्रिभुज असमानता प्रमेय। से पुनर्प्राप्त: khanacademy.org
7. विकिपीडिया। त्रिकोणीय असमानता। से बरामद: तों। wikipedia.com