क्यूब्स का अंतर: सूत्र, समीकरण, उदाहरण, अभ्यास - गणित - 2025

क्यूब्स के अंतर प्रपत्र एक की एक द्विपद बीजीय अभिव्यक्ति है ³ ख - ³, जहां शर्तों ए और बी वास्तविक संख्या या विभिन्न प्रकार के बीजीय भाव हो सकता है। क्यूब्स के अंतर का एक उदाहरण है: 8 - x ³, क्योंकि 8 को 2 ^{3 के} रूप में लिखा जा सकता है ।

ज्यामितीय रूप से हम एक बड़े क्यूब के बारे में सोच सकते हैं, एक तरफ से, जिसमें साइड बी वाला छोटा क्यूब घटाया जाता है, जैसा कि चित्र 1 में दिखाया गया है:

चित्रा 1. क्यूब्स का अंतर। स्रोत: एफ। ज़पाटा

परिणामी आकृति का आयतन ठीक घन का अंतर है:

वी = एक ³ - बी ³

एक वैकल्पिक अभिव्यक्ति खोजने के लिए, यह देखा गया है कि यह आंकड़ा तीन प्रिज्मों में विघटित हो सकता है, जैसा कि नीचे दिखाया गया है:

चित्रा 2. क्यूब्स का अंतर (समानता के बाएं) आंशिक वॉल्यूम (दाएं) के योग के बराबर है। स्रोत: एफ। ज़पाटा

प्रिज्म में इसके तीन आयामों के गुणन द्वारा दी गई मात्रा है: चौड़ाई x ऊँचाई x गहराई। इस तरह, परिणामी मात्रा है:

V = a ³ - b ³ = a ².b + b ³ + ab ²

फैक्टर बी सही करने के लिए आम है। इसके अलावा, ऊपर दिखाए गए चित्र में, यह विशेष रूप से सच है कि:

b = (a / 2) ⇒ a = b + b

इसलिए यह कहा जा सकता है कि: बी = ए - बी। इस प्रकार:

क्यूब्स के अंतर को व्यक्त करने का यह तरीका कई अनुप्रयोगों में बहुत उपयोगी साबित होगा और यह उसी तरह से प्राप्त किया गया होगा, भले ही कोने में लापता क्यूब का पक्ष b = a / 2 से भिन्न हो।

ध्यान दें कि दूसरा कोष्ठक सम के वर्ग के उल्लेखनीय उत्पाद जैसा दिखता है, लेकिन क्रॉस शब्द 2 से गुणा नहीं किया गया है। पाठक यह सत्यापित करने के लिए दाईं ओर का विस्तार कर सकता है कि ³ - b ³ वास्तव में प्राप्त किया गया है ।

उदाहरण

क्यूब्स के कई अंतर हैं:

1 - एम ⁶

एक ⁶ बी ³ - 8z ¹² और ⁶

(1/125).x ⁶ - 27.y ⁹

चलो उनमें से हर एक को गुदा करो। पहले उदाहरण में, 1 को 1 = 1 ^{3 के} रूप में लिखा जा सकता है और मी ⁶ शब्द बन जाता है: (एम ²) ³ । दोनों शब्द सही क्यूब्स हैं, इसलिए उनका अंतर है:

1 - एम ⁶ = 1 ³ - (एम ²) ³

दूसरे उदाहरण में शर्तों को फिर से लिखा गया है:

एक ⁶ बी ³ = (एक ² बी) ³

8z ¹² y ⁶ = 2 ³ (z ⁴) ³ (y ²) ³ = (2z ⁴ y ²) ³

इन क्यूब्स का अंतर है: (एक ² बी) ³ - (2z ⁴ y ²) ³ ।

अंत में, अंश (1/125) है (1/5 ³), x ⁶ = (x ²) ³, 27 = 3 ^3, और y ⁹ = (y ³) ³ । मूल अभिव्यक्ति में इस सब को प्रतिस्थापित करते हुए, आपको यह मिलता है:

(1/125).x ⁶ - 27y ⁹ = ³ - (3y ³) ³

घन का अंतर फैक्टर करना

क्यूब्स के अंतर को फैक्टर करना कई बीजीय कार्यों को सरल करता है। ऐसा करने के लिए, बस ऊपर दिए गए सूत्र का उपयोग करें:

चित्रा 3. क्यूब्स और एक उल्लेखनीय भागफल की अभिव्यक्ति के अंतर का कारक। स्रोत: एफ। ज़पाटा

अब, इस सूत्र को लागू करने की प्रक्रिया में तीन चरण हैं:

- सबसे पहले अंतर की शर्तों में से प्रत्येक के घनमूल को प्राप्त किया जाता है।

- फिर सूत्र के दाईं ओर दिखाई देने वाले द्विपद और त्रिनोमियल का निर्माण किया जाता है।

- अंत में, द्विपद और ट्रिनोमियल को अंतिम कारककरण प्राप्त करने के लिए बदल दिया जाता है।

आइए ऊपर बताए गए प्रत्येक घन अंतर के उदाहरण के साथ इन चरणों के उपयोग का वर्णन करें और इस प्रकार इसके वास्तविक समकक्ष प्राप्त करें।

उदाहरण 1

वर्णित चरणों के बाद अभिव्यक्ति 1 - एम ⁶ कारक । हम प्रत्येक के संबंधित घन जड़ों को निकालने के लिए 1 - एम ⁶ = 1 ³ - (एम ²) ^{3 के} रूप में अभिव्यक्ति को फिर से लिखना शुरू करते हैं:

अगला, द्विपद और त्रिनोमियल का निर्माण किया जाता है:

a = १

बी = एम ^२

इसलिए:

ए - बी = १ - एम ^२

(a ² + ab + b ²) = 1 ² + 1.m ² + (m ²) ² = 1 + m ² + m ⁴

अंत में, इसे सूत्र ³ - b ³ = (ab) (² + ab + b ²) सूत्र में प्रतिस्थापित किया गया है:

1 - एम ⁶ = (1 - एम ²) (1 + एम ² + एम ⁴)

उदाहरण 2

गुणनखंड:

a ⁶ b ³ -8z ¹² y ⁶ = (² b) ³ - (2z ⁴ y ²) ³

चूंकि ये पूर्ण घन हैं, घन जड़ें तत्काल हैं: एक ² बी और 2z ⁴ और ², इसलिए यह इस प्रकार है:

- द्विपद: एक ² बी - 2z ⁴ और ²

- त्रिनोमियल: (एक ² बी) ² + ² बी। 2z ⁴ y ² + (एक ² b + 2z ⁴ y ²) ²

और अब वांछित कारक का निर्माण किया गया है:

a ⁶ b ³ -8z ¹² y ⁶ = (² b - 2z ⁴ y ²)। =

= (एक ² बी - 2z ⁴ y ²)।

सिद्धांत रूप में, फैक्टरिंग तैयार है, लेकिन प्रत्येक शब्द को सरल बनाने के लिए अक्सर आवश्यक होता है। फिर एक राशि के उल्लेखनीय उत्पाद -square कि अंत में प्रकट होता है विकसित किया है और फिर शर्तों की तरह जोड़ रहे हैं। यह याद रखना कि राशि का वर्ग है:

दाईं ओर उल्लेखनीय उत्पाद इस तरह विकसित किया गया है:

(एक ² बी + 2z ⁴ और ²) ² = एक ⁴ ख ² + 4 ए ² b.z ⁴ और ² + 4Z ⁸ और ⁴

क्यूब्स के अंतर के गुणन में प्राप्त विस्तार को प्रतिस्थापित करना:

a ⁶ b ³ -8z ¹² y ⁶ = (² b - 2z ⁴ y ²)। =

अंत में, शब्दों की तरह समूह बनाना और संख्यात्मक गुणांक को फैक्टर करना, जो कि सभी समान हैं, हम प्राप्त करते हैं:

(एक ² बी - 2z ⁴ y ²)। = 2 (एक ² बी - 2z ⁴ y ²)।

उदाहरण 3

फैक्टरिंग (1/125) x ⁶ - 27y ⁹ पिछले मामले की तुलना में बहुत आसान है। पहले और बी के समकक्षों की पहचान की जाती है:

a = (1/5) x ²

b = ३y ^३

फिर उन्हें सीधे सूत्र में प्रतिस्थापित किया जाता है:

(1/125).x ⁶ - 27y ⁹ =।

व्यायाम हल किया

क्यूब्स का अंतर, जैसा कि हमने कहा है, बीजगणित में विभिन्न प्रकार के अनुप्रयोग। आइए देखते हैं कुछ:

अभ्यास 1

निम्नलिखित समीकरणों को हल करें:

a) x ⁵ - 125 x ² = 0

b) 64 - 729 x ³ = 0

का हल

पहले समीकरण को इस तरह से चित्रित किया गया है:

x ² (x ³ - 125) = 0

चूंकि 125 एक पूर्ण घन है, इसलिए कोष्ठकों को घन के अंतर के रूप में लिखा जाता है:

x ² । (x ³ - 5 ³) = 0

पहला समाधान x = 0 है, लेकिन हम अधिक पाते हैं यदि हम x ³ बनाते हैं - 5 ³ = 0, तो:

x ³ = 5 ³ → x = 5

समाधान b

समीकरण के बाईं ओर 64 - 729 x ³ = 4 ³ - (9x) ^{3 के} रूप में फिर से लिखा गया है । इस प्रकार:

4 ³ - (9x) ³ = 0

चूंकि घातांक समान है:

9x = 4 → x = 9/4

व्यायाम २

कारक अभिव्यक्ति:

(x + y) ³ - (x - y) ³

उपाय

यह अभिव्यक्ति क्यूब्स का अंतर है, यदि फैक्टरिंग सूत्र में हम ध्यान दें:

a = x + y

b = x- y

फिर द्विपद का निर्माण पहले किया जाता है:

a - b = x + y - (x- y) = 2y

और अब त्रिनोमिअल:

a ² + ab + b ² = (x + y) ² + (x + y) (xy) + (xy) ²

उल्लेखनीय उत्पाद विकसित किए गए हैं:

अगला आपको शब्दों की तरह स्थानापन्न और कम करना होगा:

a ² + ab + b ² = x ² + 2xy + y ² + x ² - y ² + x ² - 2xy + y ² = 3x ² + y ²

फैक्टरिंग परिणाम:

(x + y) ³ - (x - y) ³ = 2y (3x ² + y ²)

संदर्भ

1. बाल्डोर, ए। 1974. बीजगणित। संपादकीय सांस्कृतिक वेनेजुएला एसए
2. सीके -12 फाउंडेशन। क्यूब्स का योग और अंतर। से पुनर्प्राप्त: ck12.org।
3. खान अकादमी। क्यूब्स के अंतर की फैक्टरिंग। से पुनर्प्राप्त: es.khanacademy.org।
4. मैथ फन एडवांस्ड है। दो घन का अंतर। से पुनर्प्राप्त: mathsisfun.com
5. यूएनएएम। घन का अंतर फैक्टर करना। से पुनर्प्राप्त: dcb.fi-c.unam.mx