यूक्लिडियन दूरी: अवधारणा, सूत्र, गणना, उदाहरण - गणित - 2025

इयूक्लिडियन दूरी एक सकारात्मक संख्या है कि एक जगह है जहाँ सूक्तियों और यूक्लिड की ज्यामिति के प्रमेयों को पूरा कर रहे हैं में दो अंक के बीच अलगाव इंगित करता है।

एक यूक्लिडियन स्थान में दो बिंदुओं A और B के बीच की दूरी केवल एक ही रेखा से संबंधित वेक्टर AB की लंबाई है जो इन बिंदुओं से होकर गुजरती है।

आकृति 1 । लाइन (OX) द्वारा गठित एक आयामी यूक्लिडियन स्थान। उक्त स्थान, उनके निर्देशांक और दूरियों पर कई बिंदु दिखाए गए हैं। (रिकार्डो पेरेज़ द्वारा तैयार)।

वह स्थान जो मनुष्य अनुभव करता है और जहां हम चलते हैं, वह त्रि-आयामी (3-डी) स्थान है, जहां यूक्लिड की ज्यामिति के स्वयंसिद्ध और प्रमेय पूरे होते हैं। दो-आयामी उप-स्थान (विमान) और एक-आयामी उप-स्थान (लाइनें) इस स्थान में समाहित हैं।

यूक्लिडियन रिक्त स्थान एक-आयामी (1-डी), दो-आयामी (2-डी), तीन-आयामी (3-डी), या एन-आयामी (एनडी) हो सकते हैं।

एक आयामी अंतरिक्ष एक्स में अंक वे हैं जो उन्मुख रेखा (ओएक्स) से संबंधित हैं, ओ से एक्स की दिशा सकारात्मक दिशा है। इस रेखा पर बिंदुओं का पता लगाने के लिए, कार्टेशियन प्रणाली का उपयोग किया जाता है, जिसमें रेखा के प्रत्येक बिंदु पर एक संख्या निर्दिष्ट करना शामिल होता है।

सूत्र

यूक्लिडियन दूरी d (A, B) बिंदु A और B के बीच, एक रेखा पर स्थित है, को उनके X निर्देशांक में अंतर के वर्गमूल के वर्गमूल के रूप में परिभाषित किया गया है:

d (A, B) = √ ((XB - XA) ^ 2)

यह परिभाषा इस बात की गारंटी देती है कि: दो बिंदुओं के बीच की दूरी हमेशा एक सकारात्मक मात्रा होती है। और यह कि A और B के बीच की दूरी B और A के बीच की दूरी के बराबर है।

चित्र 1 लाइन (OX) द्वारा गठित एक आयामी यूक्लिडियन स्थान और उक्त रेखा पर कई बिंदुओं को दर्शाता है। प्रत्येक बिंदु में एक समन्वय है:

बिंदु A ने XA = 2.5 का समन्वय किया, बिंदु B ने XB = 4 का समन्वय किया और बिंदु C ने XC = -2.5 का समन्वय किया

डी (ए, बी) = √ ((4 - 2.5) 2) = 1.5

डी (बी, ए) = √ ((2.5 - 4) 2) = 1.5

डी (ए, सी) = √ ((- 2.5 - 2.5) 2) = 5.0

यूक्लिडियन दूरी दो आयामों में

दो आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष एक विमान है। यूक्लिडियन विमान के बिंदु, यूक्लिडियन ज्यामिति के स्वयंसिद्ध को पूरा करते हैं, उदाहरण के लिए:

- एक सिंगल लाइन दो बिंदुओं से होकर गुजरती है।

- समतल पर तीन बिंदु एक त्रिभुज बनाते हैं जिसका आंतरिक कोण हमेशा 180 plane तक जुड़ता है।

- एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण का वर्ग इसके पैरों के वर्गों के योग के बराबर होता है।

दो आयामों में, एक बिंदु में X और Y निर्देशांक होते हैं।

उदाहरण के लिए एक बिंदु P में निर्देशांक (XP, YP) ​​और एक बिंदु Q निर्देशांक (XQ, YQ) है।

बिंदु P और Q के बीच यूक्लिडियन दूरी को निम्नलिखित सूत्र से परिभाषित किया गया है:

d (P, Q) = √ ((XQ - XP) ^ 2 + (YQ - YP) ^ 2)

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि यह सूत्र पायथागॉरियन प्रमेय के बराबर है, जैसा कि चित्र 2 में दिखाया गया है।

चित्र 2. विमान में दो बिंदु P और Q के बीच की दूरी पाइथागोरस प्रमेय को पूरा करती है। (रिकार्डो पेरेज़ द्वारा तैयार)।

गैर-यूक्लिडियन सतहों

सभी दो-आयामी स्थान यूक्लिडियन ज्यामिति के अनुरूप नहीं हैं। एक गोले की सतह एक दो आयामी स्थान है।

एक गोलाकार सतह पर एक त्रिकोण के कोण 180 with तक नहीं जुड़ते हैं और इसके साथ पाइथागोरस प्रमेय पूरा नहीं होता है, इसलिए एक गोलाकार सतह यूक्लिड के स्वयंसिद्ध को पूरा नहीं करती है।

यू आयामों में n आयाम

निर्देशांक की अवधारणा को बड़े आयामों तक बढ़ाया जा सकता है:

- 2-D बिंदु P में निर्देशांक (XP, YP) ​​है

- 3-डी में एक बिंदु Q में निर्देशांक (XQ, YQ, ZQ) है

- 4-D में बिंदु R में निर्देशांक होंगे (XR, YR, ZR, WR)

- nD में एक बिंदु P में निर्देशांक (P1, P2, P3,….., Pn) होगा।

एन-आयामी यूक्लिडियन स्थान के दो बिंदु P और Q के बीच की दूरी की गणना निम्न सूत्र से की जाती है:

d (P, Q) = √ ((Q1 - P1) ^ 2 + (Q2 - P2) ^ 2 + …….. + (Qn - Pn) ^ 2)

एन-डायमेंशनल यूक्लिडियन स्पेस में सभी बिंदुओं का स्थान एक और नियत बिंदु P (केंद्र) से समान दूरी पर एक n-डायमेंशनल हाइपरस्फेयर बनता है।

यूक्लिडियन दूरी की गणना कैसे करें

निम्नलिखित दिखाता है कि यूक्लिडियन त्रि-आयामी अंतरिक्ष में स्थित दो बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना कैसे की जाती है।

मान लीजिए कि कार्टेशियन का बिंदु A,: 2, 3, 1) द्वारा दिए गए x, y, z का समन्वय करता है और निर्देशांक B:(-3, 2, 2) का बिंदु B)।

हम इन बिंदुओं के बीच की दूरी को निर्धारित करना चाहते हैं, जिसके लिए सामान्य संबंध का उपयोग किया जाता है:

d (A, B) = √ ((-3 - 2) 2 + (2 - 3) 2 + (2 - 1) 2) = 2 ((-5) 2 + (-1) 2 + (1) 2)

डी (ए, बी) = √ (25 + 1 + 1) = 27 (27) = √ (9 * 3) = 3) (3) = 5,196

उदाहरण

दो बिंदु P और Q हैं। कार्टेशियन का बिंदु P, x: y, z को P:(2, 3, 1) द्वारा दिया गया है और निर्देशांक Q का बिंदु Q:(-3, 2, 1) है।

यह दो बिंदुओं को जोड़ने वाले खंड के मध्य बिंदु एम के निर्देशांक को खोजने के लिए कहा जाता है।

अज्ञात बिंदु M को निर्देशांक (X, Y, Z) माना जाता है।

चूंकि M, का मध्य बिंदु है, इसलिए यह सही होना चाहिए कि d (P, M) = d (Q, M), इसलिए d (P, M) ^ 2 = d (Q, M) ^ 2 भी सत्य होना चाहिए:

(X - 2) ^ 2 + (Y - 3) ^ 2 + (Z - 1) ^ 2 = (X - (-3)) ^ 2 + (Y - 2) ^ 2 + (Z - 1) ^ 2

जैसा कि इस मामले में, तीसरा शब्द दोनों सदस्यों में बराबर है, पिछली अभिव्यक्ति सरल है:

(X - 2) ^ 2 + (Y - 3) ^ 2 = (X + 3) ^ 2 + (Y - 2) ^ 2

हमारे पास दो अज्ञात एक्स और वाई के साथ एक समीकरण है। समस्या को हल करने के लिए एक और समीकरण की आवश्यकता है।

बिंदु M उस रेखा से संबंधित है जो बिंदु P और Q से होकर गुजरती है, जिसे हम निम्नानुसार गणना कर सकते हैं:

पहले हम लाइन के निदेशक वेक्टर पीक्यू पाते हैं: पीक्यू = <-3-2, 2-3, 1-1> = <-5, -1, 0>।

फिर पीएम = ओपी + एक पीक्यू, जहां ओपी बिंदु पी की स्थिति वेक्टर है और एक पैरामीटर है जो वास्तविक संख्याओं से संबंधित है।

उपरोक्त समीकरण को रेखा के सदिश समीकरण के रूप में जाना जाता है, जिसे कार्टेशियन निर्देशांक निम्नलिखित रूप में लेता है:

<X-2, Y-3, Z-1> = <2, 3, 1> + a <-5, -1, 0> = <2 - 5a, 3 - a, 0>

हमारे पास संगत घटकों की समानता:

एक्स - 2 = 2-5 ए; वाई - 3 = 3-ए; जेड - 1 = 0

यही है, एक्स = 4 - 5 ए, वाई = 6 - ए, अंत में जेड = 1।

इसे एक्स से वाई से संबंधित द्विघात अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित किया गया है:

(4 - 5 ए - 2) ^ 2 + (6 - a - 3) ^ 2 = (4 - 5 ए + 3) ^ 2 + (6 - a - 2) ^ 2

यह सरलीकृत है:

(2 - 5 ए) ^ 2 + (3-ए) ^ 2 = (7 - 5 ए) ^ 2 + (4 - ए) 2

अब सामने आया है:

4 + 25 ए ​​2 - 20 ए + 9 + ए ^ 2 - 6 ए = 49 + 25 ए ​​2 - 70 ए + 16 + ए ^ 2 - 8 ए

यह सरल है, दोनों सदस्यों में शर्तों की तरह रद्द करना:

4 - 20 ए + 9 - 6 ए = 49 - 70 ए + 16 - 8 ए

एक पैरामीटर साफ हो गया है:

52 a = 49 + 16 - 4 - 9 = 52 परिणामस्वरूप = 1।

यही है, एक्स = 4 - 5, वाई = 6 - 1, अंत में जेड = 1।

अंत में हम सेगमेंट के मध्य बिंदु M के कार्टेशियन निर्देशांक प्राप्त करते हैं:

एम: (-1, 5, 1)।

संदर्भ

1. लेहमैन सी। (1972) विश्लेषणात्मक ज्यामिति। Uteha।
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