सामान्य वितरण या गाऊसी वितरण एक सतत परिवर्तनशील है, जिसमें प्रायिकता घनत्व समारोह द्विघात और नकारात्मक तर्क का एक घातीय समारोह है, जो एक घंटी के आकार को जन्म देता है द्वारा वर्णित है में प्रायिकता वितरण है।
सामान्य वितरण का नाम इस तथ्य से आता है कि यह वितरण वह है जो सबसे बड़ी संख्या में उन स्थितियों पर लागू होता है जहां कुछ निरंतर यादृच्छिक चर किसी दिए गए समूह या आबादी में शामिल होते हैं।
चित्रा 1. सामान्य वितरण एन (एक्स; μ; () और इसकी संभावना घनत्व एफ (एस; μ; ()। (खुद का विस्तार)
ऐसे उदाहरण जहां सामान्य वितरण लागू किया जाता है: पुरुषों या महिलाओं की ऊंचाई, कुछ भौतिक परिमाण के माप में भिन्नता या औसत दर्जे का मनोवैज्ञानिक या समाजशास्त्रीय लक्षण जैसे कि बौद्धिक भागफल या एक निश्चित उत्पाद की खपत की आदतें।
दूसरी ओर, इसे गॉसियन डिस्ट्रीब्यूशन या गॉसियन बेल कहा जाता है, क्योंकि यह जर्मन गणितीय प्रतिभा है, जिसे उन्होंने इस खोज के लिए श्रेय दिया है कि उन्होंने वर्ष 1800 में वापस खगोलीय माप की सांख्यिकीय त्रुटि का वर्णन करने के लिए इसे दिया था।
हालांकि, यह कहा जाता है कि यह सांख्यिकीय वितरण पहले फ्रांसीसी मूल के एक और महान गणितज्ञ द्वारा प्रकाशित किया गया था, जैसे कि अब्राहम डी मोइवर, 1733 में वापस।
सूत्र
पैरामीटर μ और is के साथ निरंतर चर x में सामान्य वितरण फ़ंक्शन को निम्न द्वारा निरूपित किया जाता है:
एन (x; μ;,)
और यह स्पष्ट रूप से इस तरह लिखा गया है:
N (x; μ; σ) = x -∞ x f (s; μ;;) ds
जहाँ f (u; μ; μ) प्रायिकता घनत्व कार्य है:
f (s; μ, σ) = (1 / () (2))) Exp (- s 2 / (2, 2))
निरंतरता घनत्व फ़ंक्शन में घातीय फ़ंक्शन को गुणा करने वाले निरंतर को सामान्यीकरण स्थिरांक कहा जाता है, और इसे इस तरह से चुना गया है:
एन (+।, Μ, σ) = 1
पिछली अभिव्यक्ति यह सुनिश्चित करती है कि यादृच्छिक चर x -∞ और + the के बीच की संभावना 1, यानी 100% संभावना है।
पैरामीटर μ निरंतर यादृच्छिक चर x का अंकगणित माध्य है और उसी चर के प्रसरण का मानक विचलन या वर्गमूल है। इस मामले में कि μ = 0 और 1 = 1 है तो हमारे पास मानक सामान्य वितरण या सामान्य सामान्य वितरण है:
एन (x; μ = 0, σ = 1)
सामान्य वितरण के लक्षण
1- यदि एक यादृच्छिक सांख्यिकीय चर संभावना घनत्व f (s; μ; random) के एक सामान्य वितरण का अनुसरण करता है, तो अधिकांश डेटा औसत मान μ के आसपास समूहीकृत होते हैं और इसे इस तरह से चारों ओर बिखेर दिया जाता है कि तुलना में थोड़ा अधिक डेटा के are μ - σ और μ + μ के बीच होते हैं।
2- मानक विचलन σ हमेशा सकारात्मक होता है।
3- घनत्व फ़ंक्शन f का आकार घंटी के समान है, यही वजह है कि इस फ़ंक्शन को अक्सर गॉसियन घंटी या गॉसियन फ़ंक्शन कहा जाता है।
4- गौसियन वितरण में माध्य, माध्यिका और मोड संयोग करते हैं।
5- प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन के विभेदन बिंदु ठीक μ - μ और μ + points पर होते हैं।
6- फंक्शन एफ अपने माध्य मान μ से गुजरने वाली धुरी के संबंध में सममित है और इसमें x ∞ + ⟶ और x ⟶ -∞ के लिए asymptotically शून्य है।
7- 7- का मान जितना अधिक होगा, औसत मान के आसपास डेटा का फैलाव, शोर या दूरी उतनी ही अधिक होगी। दूसरे शब्दों में, उच्च shape घंटी का आकार अधिक खुला है। दूसरी ओर, indicates छोटा इंगित करता है कि पासा माध्य के करीब है और घंटी का आकार अधिक बंद या इंगित किया गया है।
8- वितरण समारोह N (x; μ; () इस संभावना को इंगित करता है कि यादृच्छिक चर x से कम या बराबर है। उदाहरण के लिए, चित्रा 1 (ऊपर) में संभावना P कि चर x 1.5 से कम या बराबर 84% है और संभावना घनत्व फ़ंक्शन f (x; μ; σ) के तहत क्षेत्र से मेल खाती है; -। से x तक।
विश्वास अंतराल
9- यदि डेटा एक सामान्य वितरण का अनुसरण करता है, तो इनमें से 68.26% μ - μ और μ + σ के बीच हैं।
10- 95.44% डेटा जो सामान्य वितरण का पालन करते हैं वे μ - 2 μ और μ + 2σ के बीच होते हैं।
11- 99.74% डेटा जो सामान्य वितरण का पालन करते हैं वे μ - 3 μ और μ + 3σ के बीच होते हैं।
12- यदि एक यादृच्छिक चर x एक वितरण N (x; μ;,) का अनुसरण करता है, तो चर
z = (x - μ) / (मानक सामान्य वितरण N (z; 0.1) का अनुसरण करता है।
चर x को z में बदलने को मानकीकरण या टाइपिंग कहा जाता है और मानक वितरण की तालिकाओं को गैर-मानक सामान्य वितरण का अनुसरण करने वाले डेटा में लागू करते समय बहुत उपयोगी होता है।
सामान्य वितरण के अनुप्रयोग
सामान्य वितरण को लागू करने के लिए संभाव्यता घनत्व के अभिन्न की गणना के माध्यम से जाना आवश्यक है, जो विश्लेषणात्मक दृष्टिकोण से आसान नहीं है और हमेशा एक कंप्यूटर प्रोग्राम नहीं होता है जो इसकी संख्यात्मक गणना की अनुमति देता है। इस उद्देश्य के लिए, सामान्यीकृत या मानकीकृत मूल्यों की तालिकाओं का उपयोग किया जाता है, जो कि मामले में सामान्य वितरण से अधिक कुछ नहीं है μ = 0 और of = 1।
मानकीकृत सामान्य वितरण तालिका (भाग 1/2)
मानकीकृत सामान्य वितरण तालिका (भाग 2/2)
यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि इन तालिकाओं में नकारात्मक मूल्य शामिल नहीं हैं। हालांकि, गाऊसी संभावना घनत्व फ़ंक्शन के समरूपता गुणों का उपयोग करके संबंधित मूल्यों को प्राप्त किया जा सकता है। नीचे दिखाए गए हल किए गए व्यायाम इन मामलों में तालिका के उपयोग को इंगित करते हैं।
उदाहरण
मान लें कि आपके पास यादृच्छिक डेटा x का एक सेट है जो औसत 10 और मानक विचलन के सामान्य वितरण का पालन करता है 2. आपको संभावना खोजने के लिए कहा जाता है:
a) यादृच्छिक चर x 8 से कम या बराबर है।
b) 10 से कम या इसके बराबर है।
c) यह कि चर x 12 से नीचे है।
डी) संभावना है कि एक एक्स-मूल्य 8 और 12 के बीच है।
उपाय:
क) पहले सवाल का जवाब देने के लिए आपको बस गणना करनी होगी:
एन (x; μ;,)
X = 8, μ = 10 और = = 2 के साथ। हमें पता चलता है कि यह एक अभिन्न अंग है जिसमें प्राथमिक कार्यों में विश्लेषणात्मक समाधान नहीं है, लेकिन समाधान त्रुटि फ़ंक्शन एरफ (एक्स) के एक फ़ंक्शन के रूप में व्यक्त किया गया है।
दूसरी ओर, संख्यात्मक रूप में अभिन्न को हल करने की संभावना है, जो कि कई कैलकुलेटर, स्प्रेडशीट और कंप्यूटर प्रोग्राम जैसे कि जियो डू। निम्नलिखित आंकड़ा पहले मामले के अनुरूप संख्यात्मक समाधान दिखाता है:
चित्रा 2. संभाव्यता घनत्व f (x; μ; f)। छायांकित क्षेत्र P (x) 8) का प्रतिनिधित्व करता है। (खुद का विस्तार)
और जवाब है कि x 8 से नीचे होने की संभावना है:
P (x (8) = N (x = 8; μ = 10, 2 = 2) = 0.1587
ख) इस मामले में, हम इस संभावना को खोजने की कोशिश करते हैं कि यादृच्छिक चर x मतलब से नीचे है, जो इस मामले में 10 के लायक है। उत्तर में किसी भी गणना की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि हम जानते हैं कि आधा डेटा नीचे हैं। औसत और दूसरा आधा औसत से ऊपर। इसलिए, उत्तर है:
P (x (10) = N (x = 10; μ = 10, 2 = 2) = 0.5
c) इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, हमें N (x = 12; μ = 10, answer = 2) की गणना करनी चाहिए, जो एक कैलकुलेटर के साथ किया जा सकता है, जिसमें सांख्यिकीय कार्य हों या सॉफ्टवेयर जैसे कि जप:
चित्रा 3. संभाव्यता घनत्व f (x; μ; f)। छायांकित क्षेत्र P (x) 12) का प्रतिनिधित्व करता है। (खुद का विस्तार)
भाग 3 का उत्तर आकृति 3 में देखा जा सकता है और यह है:
पी (एक्स (12) = एन (एक्स = 12; μ = 10,) = 2) = 0.8413।
डी) इस संभावना को खोजने के लिए कि यादृच्छिक चर x 8 और 12 के बीच है हम भागों के परिणामों का उपयोग कर सकते हैं a और c निम्नानुसार हैं:
P (8 (x) 12) = P (x - 12) - P (x) 8) = 0.8413 - 0.1587 = 0.6826 = 68.26%।
व्यायाम हल किया
एक कंपनी के स्टॉक की औसत कीमत $ 4 के मानक विचलन के साथ $ 25 है। संभावना निर्धारित करें कि:
a) एक क्रिया की लागत $ 20 से कम है।
b) जिसकी लागत $ 30 से अधिक है।
c) कीमत $ 20 से $ 30 के बीच है।
उत्तरों को खोजने के लिए मानक सामान्य वितरण तालिकाओं का उपयोग करें।
उपाय:
तालिकाओं का उपयोग करने के लिए, सामान्यीकृत या टाइप किए गए z चर को पास करना आवश्यक है:
$ 20 सामान्य चर में बराबर z = ($ 20 - $ 25) / $ 4 = -5/4 = -1.25 और
$ 30 सामान्यीकृत चर में z = ($ 30 - $ 25) / $ 4 = +5/4 = +1.25 के बराबर होता है।
a) सामान्यीकृत चर में $ 20 बराबर -1.25 है, लेकिन तालिका में नकारात्मक मान नहीं हैं, इसलिए हम +1.25 का मान रखते हैं जो 0.8944 के मान को प्राप्त करता है।
यदि इस मान से 0.5 घटाया जाता है, तो परिणाम 0 और 1.25 के बीच का क्षेत्र होगा, जो वैसे भी समरूपता (समरूपता से) -1.25 और 0. के बीच के क्षेत्र में होता है। घटाव का परिणाम 0.8944 है - 0.5 = 0.3944 जो -1.25 और 0 के बीच का क्षेत्र है।
लेकिन-the से -1.25 तक का क्षेत्र ब्याज का है, जो 0.5 - 0.3944 = 0.1056 होगा। इसलिए यह निष्कर्ष निकाला गया है कि एक शेयर $ 20 से नीचे होने की संभावना 10.56% है।
b) टाइप किए गए वैरिएबल z में $ 30 1.25 है। इस मान के लिए, तालिका 0.8944 संख्या दिखाती है, जो कि -∞ से +1.25 तक के क्षेत्र से मेल खाती है। +1.25 और + ∞ के बीच का क्षेत्र (1 - 0.8944) = 0.1056 है। दूसरे शब्दों में, संभावना है कि एक शेयर की लागत $ 30 से अधिक 10.56% है।
ग) संभावना है कि एक कार्रवाई की लागत $ 20 और $ 30 के बीच है, इस प्रकार गणना की जाएगी:
100% -10.56% - 10.56% = 78.88%
संदर्भ
- सांख्यिकीय और संभावना। सामान्य वितरण। से पुनर्प्राप्त: projectdescartes.org
- Geogebra। शास्त्रीय जियोजेब्रा, संभावना कैलकुलस। Geogebra.org से पुनर्प्राप्त
- MathWorks। गौसियन वितरण। से पुनर्प्राप्त: es.mathworks.com
- मेंडेनहॉल, डब्ल्यू। 1981. सांख्यिकी प्रबंधन और अर्थशास्त्र के लिए। 3। संस्करण। ग्रुपो संपादकीय Iberoamérica।
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- विकिपीडिया। सामान्य वितरण। से पुनर्प्राप्त: es.wikipedia.org