सिंथेटिक विभाजन ग - एक बहुपद पी (एक्स) प्रपत्र घ (x) = एक्स में से किसी एक में विभाजित करने की एक आसान तरीका है। उदाहरण के लिए, बहुपद P (x) = (x 5 + 3x 4 -7x 3 + 2x 2 -8x + 1) को दो सरल बहुपद (x + 1) और (x 4 + 2x 3) के गुणन के रूप में दर्शाया जा सकता है।)।
यह एक बहुत ही उपयोगी उपकरण है, जो हमें बहुपद को विभाजित करने की अनुमति देने के अलावा, यह हमें किसी भी संख्या c पर एक बहुपद P (x) का मूल्यांकन करने की अनुमति देता है, जो बदले में हमें ठीक से बताता है कि क्या संख्या बहुपद का शून्य है या नहीं।
विभाजन एल्गोरिथ्म के लिए धन्यवाद, हम जानते हैं कि यदि हमारे पास दो गैर-स्थिर बहुपद हैं P (x) और d (x), तो अद्वितीय बहुपद q (x) और r (x) ऐसे हैं जो यह सत्य है कि P (x) q (x) d (x) + r (x), जहाँ r (x) q (x) से शून्य या कम है। इन बहुपदों को क्रमशः भागफल और शेष या शेष के रूप में जाना जाता है।
ऐसे अवसरों पर जब बहुपद d (x) फॉर्म x- c का होता है, सिंथेटिक डिवीजन हमें यह पता लगाने का एक छोटा तरीका देता है कि q (x) और r (x) कौन हैं।
सिंथेटिक विभाजन विधि
P (x) = a n x n + a -1 x n-1 +… + 1 x + 0 0 बहुपद को हम विभाजित करना चाहते हैं और d (x) = xc को भाजक में विभाजित करते हैं। सिंथेटिक विभाजन विधि द्वारा विभाजित करने के लिए हम निम्नानुसार आगे बढ़ते हैं:
1- हम पहली पंक्ति में P (x) के गुणांक लिखते हैं। यदि X की कोई शक्ति प्रकट नहीं होती है, तो हम शून्य को इसके गुणांक के रूप में रखते हैं।
2- दूसरी पंक्ति में, n के बाईं ओर हम c को रखते हैं, और हम विभाजन रेखाएँ बनाते हैं जैसा कि निम्नलिखित आकृति में दिखाया गया है:
3- हम तीसरी पंक्ति में अग्रणी गुणांक को कम करते हैं।
इस अभिव्यक्ति ख में n-1 = एक n
4- हम अग्रणी गुणांक b n-1 से गुणा करते हैं और हम दूसरी पंक्ति में परिणाम लिखते हैं, लेकिन दाईं ओर एक कॉलम।
5 - हम उस कॉलम को जोड़ते हैं जहां हम पिछले परिणाम लिखते हैं और हम उस राशि के नीचे परिणाम डालते हैं; अर्थात्, एक ही कॉलम में, तीसरी पंक्ति।
जोड़ते समय, हमारे पास परिणाम n-1 + c * b n-1 होता है, जिसे सुविधा के लिए हम b n-2 कहेंगे
6- हम पिछले परिणाम से गुणा करते हैं और दूसरी पंक्ति में इसके दाईं ओर परिणाम लिखते हैं।
7- जब तक हम 0 पर गुणांक तक नहीं पहुँचते तब तक हम चरण 5 और 6 को दोहराते हैं ।
8- हम उत्तर लिखते हैं; वह है, भागफल और शेष। चूँकि हम डिग्री 1 के बहुपद द्वारा बहुपद के n को बहुपद में विभाजित कर रहे हैं, इसलिए हमारे पास भागफल n-1 का भाग होगा।
भागफल बहुपद के गुणांक अंतिम एक को छोड़कर तीसरी पंक्ति में संख्याएँ होंगी, जो कि अवशिष्ट बहुपद या शेष भाग होगी।
हल किया हुआ व्यायाम
- उदाहरण 1
सिंथेटिक डिवीजन विधि द्वारा निम्नलिखित डिवीजन करें:
(x 5 + 3x 4 -7x 3 + 2x 2 -8x + 1): (x + 1)।
उपाय
हम पहले लाभांश के गुणांक को इस प्रकार लिखते हैं:
फिर हम दूसरी तरफ, दूसरी पंक्ति में, विभाजन रेखाओं के साथ c लिखते हैं। इस उदाहरण में c = -1।
हम अग्रणी गुणांक को कम करते हैं (इस मामले में बी एन -1 = 1) और इसे 1 से गुणा करें:
हम इसका परिणाम दूसरी पंक्ति में दाईं ओर लिखते हैं, जैसा कि नीचे दिखाया गया है:
हम दूसरे कॉलम में संख्याएँ जोड़ते हैं:
हम 2 को 1 से गुणा करते हैं और तीसरे कॉलम, दूसरी पंक्ति में परिणाम लिखते हैं:
हम तीसरे कॉलम में जोड़ते हैं:
हम उसी तरह आगे बढ़ते हैं जब तक कि हम आखिरी कॉलम तक नहीं पहुँच जाते:
इस प्रकार, हमारे पास यह है कि प्राप्त की गई अंतिम संख्या विभाजन का शेष भाग है, और शेष संख्याएँ भागफल बहुपद के गुणांक हैं। यह इस प्रकार लिखा गया है:
यदि हम यह सत्यापित करना चाहते हैं कि परिणाम सही है, तो यह सत्यापित करने के लिए पर्याप्त है कि निम्नलिखित समीकरण सत्य है:
P (x) = q (x) * d (x) + r (x)
इसलिए हम जांच सकते हैं कि प्राप्त परिणाम सही है।
- उदाहरण २
सिंथेटिक विभाजन विधि द्वारा बहुपद के निम्नलिखित विभाजन को करें
(7x 3 -x + 2): (x + 2)
उपाय
इस मामले में हमारे पास यह है कि x 2 शब्द दिखाई नहीं देता है, इसलिए हम 0 को इसके गुणांक के रूप में लिखेंगे। इस प्रकार, बहुपद 7x 3 + 0x 2 -x + 2 होगा।
हम उनके गुणांक को एक पंक्ति में लिखते हैं, यह है:
हम दूसरी पंक्ति के बाईं ओर C = -2 का मान लिखते हैं और विभाजन रेखाएँ खींचते हैं।
हम अग्रणी गुणांक बी n-1 = 7 को कम करते हैं और इसे दूसरी पंक्ति में गुणा करते हैं, इसके परिणाम को दूसरी पंक्ति में दाईं ओर लिखते हैं।
जब तक हम अंतिम शब्द तक नहीं पहुँचते, हम पहले से समझाते और जोड़ते हैं:
इस स्थिति में, शेष r (x) = - 52 है और प्राप्त भागफल q (x) = 7x 2 -145 + 27 है।
- उदाहरण 3
सिंथेटिक डिवीजन का उपयोग करने का एक और तरीका निम्नलिखित है: मान लें कि हमारे पास डिग्री के एक बहुपद पी (एक्स) है और हम जानना चाहते हैं कि x = c पर इसका मूल्यांकन करने से क्या मूल्य है।
विभाजन एल्गोरिथ्म द्वारा हम बहुपद P (x) को निम्नलिखित तरीके से लिख सकते हैं:
इस अभिव्यक्ति में q (x) और r (x) क्रमशः भागफल और शेष हैं। अब, यदि d (x) = x- c, बहुपद में c का मूल्यांकन करते समय हमें निम्नलिखित मिलते हैं:
इसलिए, यह केवल (एक्स) को खोजने के लिए बना हुआ है, और हम सिंथेटिक विभाजन के लिए यह धन्यवाद कर सकते हैं।
उदाहरण के लिए, हम बहुपद पी है (x) = x 7 -9x 6 + 19x 5 + 12x 4 -3x 3 + 19x 2 -37x-37 और हम को पता है कि अपने मूल्य एक्स = 5. पर यह मूल्यांकन कर यह हम प्रदर्शन करने के लिए कर रहा है चाहता हूँ सिंथेटिक विभाजन विधि द्वारा P (x) और d (x) = x -5 के बीच का विभाजन:
एक बार ऑपरेशन हो जाने के बाद, हम जानते हैं कि हम निम्नलिखित तरीके से P (x) लिख सकते हैं:
P (x) = (x 6 -4 x 5 –x 4 + 7x 3 + 32x 2 + 179x + 858) * (x-5) + 4253
इसलिए, इसका मूल्यांकन करते समय हमें निम्न करना होगा:
पी (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (5-5) + 4253
पी (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (0) + 4253
पी (5) = 0 + 4253 = 4253
जैसा कि हम देख सकते हैं, एक्स के लिए सी को प्रतिस्थापित करने के बजाय सी पर इसका मूल्यांकन करके एक बहुपद का मूल्य ज्ञात करने के लिए सिंथेटिक विभाजन का उपयोग करना संभव है।
यदि हमने पारंपरिक तरीके से पी (5) का मूल्यांकन करने की कोशिश की, तो हम कुछ गणनाएं करने के लिए मजबूर होंगे जो अक्सर थकाऊ हो जाती हैं।
- उदाहरण 4
बहुपद के लिए विभाजन एल्गोरिथ्म भी जटिल गुणांक वाले बहुपद के लिए सही है और, परिणामस्वरूप, हमारे पास यह है कि सिंथेटिक विभाजन विधि ऐसे बहुपद के लिए भी काम करती है। हम नीचे एक उदाहरण देखेंगे।
हम यह दिखाने के लिए सिंथेटिक डिवीजन पद्धति का उपयोग करेंगे कि z = 1+ 2i बहुपद P (x) = x 3 + (1 + i) x 2 - (1 + 2i) x + (15 + 5i) का एक शून्य है; अर्थात, D (x) = x - z द्वारा विभाजन P (x) का शेष भाग शून्य के बराबर है।
हम पहले की तरह आगे बढ़ते हैं: पहली पंक्ति में हम P (x) के गुणांक लिखते हैं, फिर दूसरे में हम z लिखते हैं और विभाजन रेखाएँ खींचते हैं।
हम पहले की तरह विभाजन को अंजाम देते हैं; ये है:
हम देख सकते हैं कि शेष शून्य है; इसलिए हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि z = 1+ 2i P (x) का एक शून्य है।
संदर्भ
- बाल्डोर ऑरेलियो। बीजगणित ग्रुपो संपादकीय पटेरिया।
- डेमाना, वेट्स, फोली और कैनेडी। प्रीकेलकुलस: ग्राफिकल, न्यूमेरिकल, बीजगणितीय 7 वें एड। पियर्सन एजुकेशन।
- विश्लेषणात्मक ज्यामिति के साथ फ्लेमिंग डब्ल्यू एंड वरसर्ज डी। बीजगणित और त्रिकोणमिति। शागिर्द कक्ष
- माइकल सुलिवन। प्रीक्लकुलस 4 एड। पियर्सन शिक्षा।
- लाल। अरमांडो ओ। बीजगणित 1 6 एड। एथेनेयम।