एक वेक्टर स्थान एक गैर- रिक्त सेट V = { u, v, w, ……} है, जिसके तत्व वैक्टर हैं। उनके साथ कुछ महत्वपूर्ण कार्य किए जाते हैं, जिनमें से निम्नलिखित निम्नलिखित हैं:

- दो वैक्टर u + v परिणामस्वरूप z के बीच योग , जो कि सेट V के अंतर्गत आता है ।

- एक सदिश द्वारा एक वास्तविक संख्या α के गुणन वी: α v अन्य वेक्टर दे रही है और से संबंधित वी ।

एक वेक्टर अंतरिक्ष की कलात्मक दृष्टि। स्रोत: पिक्साबे

एक वेक्टर को निरूपित करने के लिए हम बोल्ड (v एक वेक्टर है) का उपयोग करते हैं, और स्केलर्स या संख्याओं के लिए ग्रीक अक्षर (α एक संख्या है)।

गुण और गुण

एक वेक्टर स्थान दिए जाने के लिए, निम्नलिखित आठ स्वयंसिद्ध को धारण करना चाहिए:

1-कम्यूटेशन: यू + वी = वी + यू

2-परिवर्तन: (u + v) + w = u + (v + w)

3-शून्य वेक्टर 0 का अस्तित्व ऐसा है कि 0 + v = v

4-विपरीत का अस्तित्व: v का विपरीत (- v) है, क्योंकि v + (- v) = 0

5-सदिश राशि के संबंध में उत्पाद की वितरण: α (u + v) = α u + α v

स्केलर राशि के संबंध में उत्पाद की 6-वितरण: (α + v) v = α v + of v

7-अदिश उत्पाद की संबद्धता: α (= v) = (α β) v

8-नंबर 1 तटस्थ तत्व है क्योंकि: 1 v = v

वेक्टर रिक्त स्थान के उदाहरण

उदाहरण 1

(R²) प्लेन में वैक्टर एक वेक्टर स्पेस का एक उदाहरण है। विमान में एक वेक्टर एक ज्यामितीय वस्तु है जिसमें परिमाण और दिशा होती है। यह एक उन्मुख खंड द्वारा दर्शाया गया है जो उक्त विमान से संबंधित है और इसके परिमाण के समानुपाती है।

विमान में दो वैक्टर के योग को पहले के बाद दूसरे वेक्टर के ज्यामितीय अनुवाद ऑपरेशन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। योग का परिणाम उन्मुख खंड है जो पहले की उत्पत्ति से शुरू होता है और दूसरे की नोक तक पहुंचता है।

आंकड़े में यह देखा जा सकता है कि R comm में योग सराहनीय है।

चित्रा 2. विमान में वेक्टर क्षेत्र के रूप में क्षेत्र। स्रोत: स्व बनाया

एक नंबर α और एक वेक्टर का उत्पाद भी परिभाषित किया गया है। यदि संख्या सकारात्मक है, तो मूल वेक्टर की दिशा रखी जाती है और आकार मूल वेक्टर का α गुना होता है। यदि संख्या ऋणात्मक है, तो दिशा विपरीत है, और परिणामी वेक्टर का आकार संख्या का निरपेक्ष मान है।

किसी भी वेक्टर v के विपरीत वेक्टर है - v = (- 1) v ।

अशक्त वेक्टर R² समतल में एक बिंदु है, और एक शून्य वेक्टर वेक्टर शून्य संख्या देता है।

कहा गया है कि सभी चित्र 2 में चित्रित किया गया है।

उदाहरण 2

डिग्री शून्य से कम या दो के बराबर डिग्री के सभी बहुपद के सेट पी, एक सेट बनाते हैं जो एक वेक्टर अंतरिक्ष के सभी स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है।

बहुपद P (x) = a x b + bx + cy Q (x) = d x² + ex + f

दो बहुपद के योग को परिभाषित किया गया है: P (x) + Q (x) = (a + d) x + + (b + e) ​​x + (c + f)

सेट पी से संबंधित बहुपद का योग प्रशांतीय और सकर्मक है।

P के सेट से संबंधित अशक्त बहुपद वह है जिसके सभी गुणांक शून्य के बराबर हैं:

0 (x) = 0 x² + 0 x + 0

एक बहुपद द्वारा एक स्केलर α का योग इस प्रकार परिभाषित किया जाता है: α P (x) = α x + α ar bx + α ar c

P (x) का विपरीत बहुपद है - (x) = (-1) P (x)।

उपरोक्त सभी से यह निम्नानुसार है कि दो से कम या उसके बराबर डिग्री के सभी बहुपद का सेट P एक सदिश स्थान है।

उदाहरण 3

M रो xn कॉलम के सभी मेट्रिसेस का सेट M, जिनके तत्व वास्तविक संख्याएँ हैं, एक वास्तविक वेक्टर स्पेस बनाते हैं, जिसमें मैट्रिक्स द्वारा एक मैट्रिक्स और एक नंबर के उत्पाद को जोड़ने के संचालन के संबंध में है।

उदाहरण 4

वास्तविक चर के निरंतर कार्यों का सेट एफ, एक वेक्टर स्थान बनाता है, क्योंकि दो कार्यों के योग को परिभाषित करना संभव है, एक फ़ंक्शन द्वारा स्केलर का गुणन, शून्य फ़ंक्शन और सममित फ़ंक्शन। वे एक स्वैच्छिक अंतरिक्ष की विशेषता वाले स्वयंसिद्धों को भी पूरा करते हैं।

एक वेक्टर स्थान का आधार और आयाम

आधार

एक वेक्टर स्पेस का आधार रैखिक रूप से स्वतंत्र वैक्टर के एक सेट के रूप में परिभाषित किया गया है, ताकि उस वेक्टर अंतरिक्ष के किसी भी वेक्टर को उनके रैखिक संयोजन से उत्पन्न किया जा सके।

रैखिक रूप से दो या अधिक वैक्टरों के संयोजन में कुछ स्केलर द्वारा वैक्टर को गुणा करना और फिर उन्हें वेक्टर रूप से जोड़ना शामिल है।

उदाहरण के लिए, R the द्वारा गठित तीन आयामों में वैक्टर के वेक्टर स्थान में, यूनिट वैक्टर (परिमाण 1) i, j, k द्वारा परिभाषित विहित आधार का उपयोग किया जाता है ।

जहां मैं = (1, 0, 0); j = (0, 1, 0); k = (0, 0, 1)। ये कार्टेशियन या विहित वैक्टर हैं।

R³ से संबंधित किसी भी वेक्टर V को V = a i + b j + c k के रूप में लिखा जाता है, जो बेस वैक्टर i, j, k का रैखिक संयोजन है । एक स्केलर या संख्या a, b, c को कार्टेशियन घटकों के V के रूप में जाना जाता है ।

यह भी कहा जाता है कि वेक्टर स्पेस के बेस वैक्टर वेक्टर स्पेस का एक जनरेटर सेट बनाते हैं।

आयाम

एक वेक्टर स्थान का आयाम उस स्थान के लिए एक वेक्टर आधार का कार्डिनल नंबर है; यही कारण है कि बनाने वाले वैक्टर की संख्या उक्त आधार है।

यह कार्डिनल उस वेक्टर अंतरिक्ष के रैखिक रूप से स्वतंत्र वैक्टर की अधिकतम संख्या है, और एक ही समय में वैक्टर की न्यूनतम संख्या जो उस स्थान का एक जनरेटर सेट बनाती है।

एक वेक्टर अंतरिक्ष के आधार अद्वितीय नहीं हैं, लेकिन एक ही वेक्टर अंतरिक्ष के सभी आधारों का आयाम समान है।

वेक्टर उप-क्षेत्र

सदिश स्थान V का एक सदिश उप-वर्ग V का एक उपसमूह है जिसमें समान संक्रियाओं को V के रूप में परिभाषित किया गया है और सभी सदिश स्थान स्वयंसिद्धों को पूरा करता है। इसलिए, उप-वर्ग एस भी एक वेक्टर स्थान होगा।

वेक्टर उप-प्रजाति का उदाहरण वे वैक्टर हैं जो XY विमान से संबंधित हैं। यह उप-प्रजाति वैक्टरिटी के वेक्टर स्थान का एक सबसेट है, जो तीन-आयामी अंतरिक्ष XYZ से संबंधित वैक्टर के सेट से अधिक है।

सदिश स्थान S का वेक्टर उप-स्थान S1 का एक और उदाहरण जो वास्तविक तत्वों के साथ सभी 2 × 2 मेट्रिसेस द्वारा गठित है, नीचे परिभाषित किया गया है:

दूसरी ओर, एस 2 को नीचे परिभाषित किया गया है, हालांकि यह एस का एक सबसेट है, एक वेक्टर सबस्पेस नहीं बनता है:

हल किया हुआ व्यायाम

-अभ्यास 1

चलो वैक्टर V1 = (1, 1, 0); R 0 में V2 = (0, 2, 1) और V3 = (0, 0, 3)।

क) दिखाओ कि वे रैखिक स्वतंत्र हैं।

b) दिखाएँ कि वे R³ में एक आधार बनाते हैं, क्योंकि किसी भी ट्रिपल (x, y, z) को V1, V2, V3 के रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है।

c) बेस V1, V2, V3 में ट्रिपल V = (-3,5,4) के घटकों का पता लगाएं ।

उपाय

रैखिक स्वतंत्रता को प्रदर्शित करने की कसौटी में α, γ और γ में समीकरणों के निम्नलिखित सेट को स्थापित करना शामिल है

α (1, 1, 0) + ((0, 2, 1) + 0 (0, 0, 3) = (0, 0, 0)

यदि इस प्रणाली का एकमात्र समाधान α = γ = 0 = 0 है, तो वैक्टर रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, अन्यथा वे नहीं हैं।

Α, β और के मान प्राप्त करने के लिए हम समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली का प्रस्ताव करते हैं:

α γ 1 + β + 0 + ∙ + 0 = 0

α γ 1 + ∙ + 2 + ∙ + 0 = 0

α γ 0 + β + 1 + ∙ 0 3 = 0

पहला α = 0, दूसरा α = -2 since The की ओर जाता है लेकिन α = 0 के बाद से 0 = 0। तीसरे समीकरण का अर्थ है कि equation = (- 1/3) that, लेकिन चूंकि that = 0 तब γ = 0 है।

को उत्तर

यह निष्कर्ष निकाला गया है कि यह R linear में रैखिक रूप से स्वतंत्र वैक्टर का एक समूह है।

उत्तर b

अब हम ट्रिपल (x, y, z) को V1, V2, V3 के रैखिक संयोजन के रूप में लिखते हैं।

(x, y, z) = α V1 + γ V2 + = V3 = α (1, 1, 0) + 0 (0, 2, 1) + γ (0, 0, 3)

α γ 1 + β + 0 + ∙ x 0 = x

α γ 1 + β + 2 + ∙ y 0 = y

α γ 0 + β + 1 + ∙ z 3 = z

आपने कहा:

α = x

α + 2 α = y

γ + 3 z = z

पहला α = x, दूसरा y = (yx) / 2 और तीसरा (= (z- y / 2 + x / 2) / 3 इंगित करता है। इस तरह हमने R way के किसी भी ट्रिपल way, γ और found के जनरेटर पाए हैं

उत्तर c

चलो आधार V1, V2, V3 में ट्रिपल V = (-3,5,4) के घटकों को खोजने के लिए आगे बढ़ते हैं ।

हम जनरेटर के लिए ऊपर पाए गए भावों में संबंधित मूल्यों को प्रतिस्थापित करते हैं।

इस मामले में हमारे पास: α = -3; - = (5 - (- 3)) / 2 = 4; γ = (4- 5/2 + (- 3) / 2) / 3 = 0

अर्थात्:

(-3,5,4) = -3 (1, 1, 0) + 4 (0, 2, 1) + 0 (0, 0, 3)

अंत तक:

V = -3 V1 + 4 V2 + 0 V3

हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि V1, V2, V3 वेक्टर 3 के वेक्टर स्पेस R dimension में एक आधार बनाते हैं।

-उपचार 2

बहुपद P (t) = t 4 + 4t -3 को P1 (t) = t 5 -2t + 5, P2 (t) = 2t² -3t और P3 (t) = t + 3 के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त करें।

उपाय

P (t) = x P1 (t) + y P2 (t) + z P3 (t)

जहाँ संख्याएँ x, y, z निर्धारित की जानी हैं।

टी में समान डिग्री के साथ शब्दों को गुणा और समूहीकृत करके, हम प्राप्त करते हैं:

t + 4 t -3 = (x + 2y) t (+ (-2x -3y + z) t + (5x - 3y)

जो हमें समीकरणों की निम्न प्रणाली की ओर ले जाता है:

x + 2y = 1

-2x -3y + z = 4

5x + 3z = -3

समीकरणों की इस प्रणाली के समाधान हैं:

x = -3, y = 2, z = 4।

अर्थात्:

P (t) = -3 P1 (t) + 2 P2 (t) + 4 P3 (t)

-उपचार ३

दिखाएँ कि वैक्टर v1 = (1, 0, -1, 2); R2 के v2 = (1, 1, 0, 1) और v3 = (2, 1, -1, 1) रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं।

उपाय

हम तीन वैक्टर v1, v2, v3 को रैखिक रूप से जोड़ते हैं और मांग करते हैं कि संयोजन R⁴ के शून्य तत्व को जोड़ता है

a v1 + b v2 + c v3 = 0

यानी, ए (1, 0, -1, 2) + बी (1, 1, 0, 1) + सी (2, 1, -1, 1) = (0, 0, 0, 0)

यह हमें समीकरणों की निम्न प्रणाली की ओर ले जाता है:

a + b + 2 c = 0

बी + सी = ०

-आ - ग = ०

2 ए + बी + सी = 0

पहला और चौथा घटाना हमारे पास है: -a + c = 0 जिसका अर्थ है a = c।

लेकिन अगर हम तीसरे समीकरण को देखें, तो हमारे पास एक = -c है। एकमात्र तरीका है कि a = c = (- c) धारण c के लिए 0 है और इसलिए एक भी 0 होगा।

a = c = 0

यदि हम इस परिणाम को पहले समीकरण में प्लग करते हैं तो हम उस बी = 0 को समाप्त करते हैं।

अंत में a = b = c = 0, ताकि यह निष्कर्ष निकाला जा सके कि वैक्टर v1, v2 और v3 रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं।

संदर्भ

1. लिप्स्चुट्ज़, एस। 1993. रैखिक बीजगणित। दूसरा प्रकाशन। मैकग्रा-हिल। 167-198।