पूरक घटनाओं: वे क्या और उदाहरण से मिलकर बनता है - गणित - 2025

अतिरिक्त घटनाओं (संपूर्ण कर रहे हैं) एक दूसरे को परस्पर अनन्य घटनाओं के किसी भी समूह है, जहां उनमें से संघ पूरी तरह से नमूना अंतरिक्ष या प्रयोग के संभावित मामलों को कवर करने में सक्षम है के रूप में परिभाषित कर रहे हैं।

उनके चौराहे का परिणाम खाली सेट (ection) में होता है। दो पूरक घटनाओं की संभावनाओं का योग 1 के बराबर है । दूसरे शब्दों में, इस विशेषता के साथ 2 घटनाएं पूरी तरह से एक प्रयोग की घटनाओं की संभावना को कवर करती हैं।

स्रोत: pexels.com

पूरक घटनाएँ क्या हैं?

इस प्रकार की घटना को समझने के लिए एक बहुत ही उपयोगी सामान्य मामला है एक पासा रोल करने के लिए:

नमूना स्थान को परिभाषित करते समय, सभी संभावित मामले जो प्रयोग की पेशकश का नाम हैं। इस सेट को ब्रह्मांड के रूप में जाना जाता है।

नमूना स्थान (S):

एस: {१, २, ३, ४, ५, ६}

नमूना स्थान में निर्धारित विकल्प प्रयोग की संभावनाओं का हिस्सा नहीं हैं। उदाहरण के लिए {संख्या सात ऊपर आती है} इसमें शून्य की संभावना है।

प्रयोग के उद्देश्य के अनुसार, सेट और सबसेट को यदि आवश्यक हो तो परिभाषित किया गया है। उपयोग किए जाने वाले सेट नोटेशन का अध्ययन किए जाने वाले उद्देश्य या पैरामीटर के अनुसार भी निर्धारित किया जाता है:

A: {आउटपुट एक सम संख्या} = {2, 4, 6}

B: {एक विषम संख्या प्राप्त करें} = {1, 3, 5}

इस मामले में एक और बी हैं पूरक घटनाओं। क्योंकि दोनों सेट पारस्परिक रूप से अनन्य हैं (एक सम संख्या जो कि विषम होती है, बाहर नहीं आ सकती) और इन सेटों का मिलन पूरे नमूना स्थान को कवर करता है।

उपरोक्त उदाहरण में अन्य संभावित उपसमूह हैं:

C: {आउटपुट एक अभाज्य संख्या} = {2, 3, 5}

D: {x / x Ԑ N {x = 3} = {4, 5, 6}

सेट ए, बी और सी क्रमशः वर्णनात्मक और विश्लेषणात्मक अंकन में लिखे गए हैं। सेट के लिए डी बीजीय संकेतन का उपयोग किया गया था, और प्रयोग के अनुरूप संभावित परिणाम विश्लेषणात्मक संकेतन में वर्णित किए गए थे ।

यह पहले उदाहरण में देखा गया है कि ए और बी पूरक घटनाएँ हैं

A: {आउटपुट एक सम संख्या} = {2, 4, 6}

B: {एक विषम संख्या प्राप्त करें} = {1, 3, 5}

निम्नलिखित स्वयंसिद्ध पकड़:

1. औब = एस; दो पूरक घटनाओं का संघ नमूना स्थान के बराबर है
2. एक AB = ∅ ; दो पूरक घटनाओं का प्रतिच्छेदन खाली सेट के बराबर है
3. ए '= बी' बी '= ए; प्रत्येक उपसमूह अपने होमोलॉग के पूरक के बराबर है
4. ए '= ए = बी' ∩ बी = =; इसके पूरक के साथ एक सेट को खाली करने के बराबर है
5. ए 'यूए = बी' यूबी = एस; इसके पूरक के साथ एक सेट में शामिल होना नमूना स्थान के बराबर है

सांख्यिकी और संभाव्य अध्ययन में, पूरक घटनाएँ पूरे सिद्धांत का हिस्सा हैं, इस क्षेत्र में किए गए कार्यों के बीच बहुत आम है।

पूरक घटनाओं के बारे में अधिक जानने के लिए, कुछ शब्दों को समझना आवश्यक है जो उन्हें वैचारिक रूप से परिभाषित करने में मदद करते हैं।

घटनाएँ क्या हैं?

वे प्रयोग से उत्पन्न संभावनाएं और घटनाएं हैं, जो उनके प्रत्येक पुनरावृत्तियों में परिणाम प्रदान करने में सक्षम हैं। घटनाओं उत्पन्न डेटा सेट और उप सेट के तत्वों के रूप में दर्ज किया जाना है, इन आंकड़ों में प्रवृत्तियों संभावना के लिए अध्ययन के लिए कारण हैं।

घटनाओं के उदाहरण हैं:

• सिक्का ने सिर उठाया
• मैच ड्रॉ रहा
• रासायनिक ने 1.73 सेकंड में प्रतिक्रिया व्यक्त की
• अधिकतम बिंदु पर गति 30 मीटर / सेकंड थी
• डाई ने नंबर 4 को चिह्नित किया

एक प्लगइन क्या है?

सेट सिद्धांत के बारे में। एक पूरक नमूना स्थान के हिस्से को संदर्भित करता है जिसे इसके ब्रह्मांड को शामिल करने के लिए इसके लिए एक सेट में जोड़ने की आवश्यकता होती है। यह सब कुछ है जो पूरे का हिस्सा नहीं है।

सेट सिद्धांत में पूरक को निरूपित करने का एक प्रसिद्ध तरीका है:

A 'पूरक A का

वेन आरेख

स्रोत: pixabay.com

यह एक ग्राफिकल - सामग्री विश्लेषणात्मक योजना है, जिसका उपयोग व्यापक रूप से सेट, उप-सेट और तत्वों के गणितीय कार्यों में किया जाता है। प्रत्येक सेट को एक कैपिटल लेटर और एक अंडाकार आकृति द्वारा दर्शाया जाता है (यह विशेषता इसके उपयोग के भीतर अनिवार्य नहीं है) जिसमें प्रत्येक और इसके प्रत्येक तत्व शामिल हैं।

अतिरिक्त घटनाओं सीधे वेन आरेख में देखा जाता है, प्रत्येक सेट करने के लिए इसी एडर पहचान करने के लिए अपने ग्राफिकल विधि के रूप में।

बस एक सेट के वातावरण की पूरी तरह से कल्पना करना, अपनी सीमा और आंतरिक संरचना को छोड़ देना, एक परिभाषा को अध्ययन सेट के पूरक को दिए जाने की अनुमति देता है।

पूरक घटनाओं के उदाहरण

पूरक घटनाओं के उदाहरण एक ऐसी घटना में सफलता और हार है जहां समानता मौजूद नहीं हो सकती है (एक बेसबॉल खेल)।

बूलियन चर पूरक घटनाएँ हैं: सही या गलत, इसी तरह सही या गलत, बंद या खुला, चालू या बंद।

पूरक घटना अभ्यास

अभ्यास 1

बता दें कि एस सभी प्राकृतिक संख्याओं द्वारा परिभाषित ब्रह्मांड सेट है जो दस से कम या उसके बराबर है।

S: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

S के निम्नलिखित सबसेट को परिभाषित किया गया है

एच: {प्राकृतिक संख्या चार से कम} = {०, १, २, ३}

J: {तीन के गुणक} = {३, ६, ९}

के: {पांच के गुणक} = {५}

एल: {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10}

M: {0, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10}

एन: {प्राकृतिक संख्या चार से अधिक या उसके बराबर = = {४, ५, ६, greater, greater, ९, १०}

तय:

S के सबसेट के जोड़े से संबंधित कितनी पूरक घटनाएँ बन सकती हैं ?

पूरक घटनाओं की परिभाषा के अनुसार, आवश्यकताओं को पूरा करने वाले जोड़े पहचाने जाते हैं (शामिल होने पर पारस्परिक रूप से अनन्य और नमूना स्थान को कवर करते हैं)। सबसेट के निम्नलिखित जोड़े हैं पूरक घटनाओं :

• एच और एन
• जे और एम
• एल और के

व्यायाम २

वह दिखाएं: (M) K) '= L

{, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10} 2 {5} = {5}; सेट के बीच के चौराहे दोनों ऑपरेटर सेटों के बीच के सामान्य तत्वों की पैदावार करते हैं। इस तरह M और K के बीच 5 एकमात्र सामान्य तत्व है ।

{५} '= {०, १, २, ३, ४, ६, {, {, ९, १०} = एल; क्योंकि L और K पूरक हैं, ऊपर वर्णित तीसरा स्वयंसिद्ध पूरा हुआ है (प्रत्येक उपसमूह अपने होलोग्राफ के पूरक के बराबर है)

व्यायाम ३

परिभाषित करें: '

जे J एच = {3}; पिछले अभ्यास के पहले चरण के लिए एक समरूप तरीके से।

(जे * एच) यूएन = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}; इन ऑपरेशनों को संयुक्त रूप से जाना जाता है और आमतौर पर वेन आरेख के साथ इलाज किया जाता है।

' = {0, 1, 2}; संयुक्त ऑपरेशन के पूरक को परिभाषित किया गया है।

व्यायाम ४

साबित होता है कि: { ∩ ∩} '= ∅

घुंघराले ब्रेस के भीतर वर्णित यौगिक ऑपरेशन पूरक घटनाओं की यूनियनों के बीच चौराहों को संदर्भित करता है। इस तरह हम पहले स्वयंसिद्ध (दो पूरक घटनाओं का संघ नमूना स्थान के बराबर है) को सत्यापित करने के लिए आगे बढ़ते हैं ।

S S = S ∩ S ∩ S = S; एक सेट का संघ और चौराहा एक ही सेट उत्पन्न करता है।

फिर; S '= ∅ सेटों की परिभाषा के अनुसार।

5 व्यायाम करें

सबसेट के बीच 4 चौराहों को परिभाषित करें, जिनके परिणाम खाली सेट (between) से अलग हैं।

• एम ∩ एन

{0, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10} 2 {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} = {4, 5, 7, 8, 10}

• एल ∩ एच

{, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10} 1 {0, 1, 2, 3} = {0, 1, 2, 3}

• जे ∩ एन

{3, 6, 9} 9 {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} = {6, 9}

संदर्भ

1. कंप्यूटर विज्ञान और जैव सूचना विज्ञान में सांख्यिकी के छात्रों के रोल। इरिना अरिपोवा। लातविया कृषि विश्वविद्यालय, लातविया।
2. सांख्यिकी और फोरेंसिक वैज्ञानिकों के लिए साक्ष्य का मूल्यांकन। दूसरा प्रकाशन। कॉलिन जीजी ऐटकेन। गणित का स्कूल। ब्रिटेन के एडिनबर्ग विश्वविद्यालय
3. बुनियादी गुण सिद्धांत, रॉबर्ट बी। ऐश। गणित विभाग। इलिनोइस विश्वविद्यालय
4. प्राथमिक सांख्यिकी। दसवाँ संस्करण। मारियो एफ। ट्राओला बोस्टन सेंट
5. कंप्यूटर विज्ञान में गणित और इंजीनियरिंग। क्रिस्टोफर जे वान विक। कंप्यूटर विज्ञान और प्रौद्योगिकी संस्थान। राष्ट्रीय मानक ब्यूरो। वाशिंगटन, डीसी 20234
6. कंप्यूटर विज्ञान के लिए गणित। एरिक लेहमैन। Google Inc.

   एफ थॉमसन लीटन का गणित विभाग और कंप्यूटर विज्ञान और एआई प्रयोगशाला, मैसचूसटेट्स इंस्टीट्यूट ऑफ टेक्नोलॉजी; अकामाई टेक्नोलॉजीज