शर्तों के समूहन द्वारा सामान्य कारक: उदाहरण, अभ्यास - गणित - 2025

पदों की समूहीकरण आम कारक एक बीजीय प्रक्रिया है कि आप कारकों के रूप में कुछ बीजीय भाव लिखने के लिए अनुमति देता है। इस लक्ष्य को प्राप्त करने के लिए, आपको पहले अभिव्यक्ति को ठीक से समूहित करना चाहिए और निरीक्षण करना चाहिए कि प्रत्येक समूह इस प्रकार बना है, वास्तव में, एक सामान्य कारक।

तकनीक को सही ढंग से लागू करने के लिए कुछ अभ्यास की आवश्यकता होती है, लेकिन कुछ ही समय में आप इसे मास्टर करते हैं। आइए पहले चरण में वर्णित उदाहरण उदाहरण देखें। फिर पाठक उन सभी अभ्यासों में आवेदन कर सकता है जो उन्होंने बाद में दिखाई देंगे।

चित्र 1. शब्दों को समूहीकृत करके एक सामान्य कारक लेना बीजगणितीय अभिव्यक्तियों के साथ काम करना आसान बनाता है। स्रोत: पिक्साबे

उदाहरण के लिए मान लें कि आपको निम्नलिखित अभिव्यक्ति का कारक चाहिए:

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy

इस बीजीय अभिव्यक्ति में 4 मोनोमियल या शब्द शामिल हैं, जिन्हें + और - संकेतों द्वारा अलग किया गया है, अर्थात्:

2x ², 2xy, -3zx, -3ज़ी

बारीकी से देखने पर, x पहले तीन में सामान्य है, लेकिन अंतिम नहीं है, जबकि y दूसरे और चौथे के लिए सामान्य है, और z तीसरे और चौथे के लिए आम है।

इसलिए सिद्धांत रूप में, एक ही समय में चार शब्दों का कोई सामान्य कारक नहीं है, लेकिन यदि उन्हें समूहीकृत किया जाता है जैसा कि अगले भाग में दिखाया जाएगा, तो संभव है कि कोई ऐसा प्रकट हो जो अभिव्यक्ति को दो या दो से अधिक के रूप में लिखने में मदद करता हो कारकों।

उदाहरण

फैक्टर द एक्सप्रेशन: 2x ² + 2xy - 3zx - 3zy

चरण 1: समूह

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy = (2x ² + 2xy) + (-3zx - 3zy)

चरण 2: प्रत्येक समूह के सामान्य कारक का पता लगाएं

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy =

= (2x ² + 2xy) - (3zx + 3zy) =

= 2x (x + y) - 3z (x + y)

मैं महत्वपूर्ण है: नकारात्मक संकेत भी एक सामान्य कारक है जिसे ध्यान में रखा जाना चाहिए।

अब ध्यान दें कि कोष्ठक (x + y) को समूहीकरण द्वारा प्राप्त दो शब्दों में दोहराया जाता है। यह सामान्य कारक है जो मांगा जा रहा था।

चरण 3: संपूर्ण अभिव्यक्ति का कारक

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy = (x + y) (2x - 3z)

पिछले परिणाम के साथ, फैक्टरिंग का लक्ष्य पूरा हो गया है, जो कि हमारे उदाहरण में, दो या अधिक कारकों के उत्पाद में परिवर्धन और शब्दों के घटाव के आधार पर बीजगणितीय अभिव्यक्ति को बदलने के अलावा और कोई नहीं है: (x + y) और (2x - 3z)।

समूहन द्वारा सामान्य कारक के बारे में महत्वपूर्ण प्रश्न

प्रश्न 1: कैसे पता चलेगा कि परिणाम सही है?

उत्तर: वितरित संपत्ति को प्राप्त परिणाम पर लागू किया जाता है और कम करने और सरल बनाने के बाद, इस प्रकार प्राप्त की गई अभिव्यक्ति को मूल के साथ मेल खाना चाहिए, यदि नहीं, तो एक त्रुटि है।

पिछले उदाहरण में, हम परिणाम के साथ रिवर्स में काम करते हैं, यह जांचने के लिए कि यह सही है:

(x + y) (2x - 3z) = 2x ² -3zx + 2xy - 3zy

जैसा कि परिशिष्टों के क्रम में राशि में परिवर्तन नहीं होता है, वितरण योग्य संपत्ति को लागू करने के बाद सभी मूल शर्तें वापस आ जाती हैं, जिसमें संकेत भी शामिल हैं, इसलिए, कारक सही है।

प्रश्न 2: क्या इसे दूसरे तरीके से वर्गीकृत किया जा सकता था?

उत्तर: बीजीय भाव हैं जो एक से अधिक प्रकार के समूह बनाने की अनुमति देते हैं और अन्य जो नहीं करते हैं। चयनित उदाहरण में, पाठक अपने दम पर अन्य संभावनाओं की कोशिश कर सकते हैं, उदाहरण के लिए इस तरह समूहबद्ध करना:

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy = (2x ² - 3zx) + (2xy - 3zy)

और आप जांच सकते हैं कि परिणाम वही है जो यहां प्राप्त किया गया था। इष्टतम समूह को खोजना अभ्यास का विषय है।

प्रश्न 3: बीजगणितीय अभिव्यक्ति से एक सामान्य कारक लेना क्यों आवश्यक है?

उत्तर: क्योंकि ऐसे अनुप्रयोग हैं जहां तथ्यपूर्ण अभिव्यक्ति गणनाओं को आसान बनाती है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि आप 2x ² + 2xy - 3zx - 3zy को 0. के बराबर सेट करना चाहते हैं? क्या संभावनाएँ हैं?

इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, वास्तव में मूल विकास की तुलना में तथ्यात्मक संस्करण अधिक उपयोगी है। यह इस तरह कहा गया है:

(x + y) (2x - 3z) = 0

एक संभावना है कि अभिव्यक्ति 0 के लायक है, x = -y, z के मूल्य की परवाह किए बिना। और दूसरा यह है कि x = (3/2) z, y के मूल्य की परवाह किए बिना।

अभ्यास

- अभ्यास 1

शर्तों के समूहन द्वारा निम्नलिखित अभिव्यक्ति के सामान्य कारक निकालें:

ax + ay + bx + द्वारा

उपाय

पहले दो को सामान्य कारक "ए" और अंतिम दो को सामान्य कारक "बी" के साथ वर्गीकृत किया गया है।

ax + ay + bx + by = a (x + y) + b (x + y)

एक बार ऐसा करने के बाद, एक नया सामान्य कारक सामने आता है, जो (x + y) है, ताकि:

ax + ay + bx + by = a (x + y) + b (x + y) = (x + y) (a + b)

समूह का दूसरा तरीका

यह अभिव्यक्ति समूहीकरण के दूसरे तरीके का समर्थन करती है। आइए देखें कि क्या होता है यदि शर्तों को फिर से व्यवस्थित किया जाता है और एक समूह उन लोगों के साथ बनाया जाता है जिनमें x होते हैं और दूसरे में y वाले होते हैं:

ax + ay + bx + by = ax + bx + ay + द्वारा = x (a + b) + y (a +)

इस तरह नया सामान्य कारक (a + b) है:

ax + ay + bx + by = ax + bx + ay + by = x (a + b) + y (a + b) = (x + y) (a + b)

जो पहले समूहन से उसी परिणाम की ओर जाता है जिसका परीक्षण किया गया था।

- व्यायाम २

निम्नलिखित बीजीय अभिव्यक्ति को दो कारकों के उत्पाद के रूप में लिखा जाना आवश्यक है:

3 ए ³ - 3 ए ² बी + 9एबी ² -ए ² + एबी -3 बी ²

उपाय

इस अभिव्यक्ति में 6 पद हैं। आइए पहले और चौथे, दूसरे और तीसरे और अंत में पांचवें और छठे को समूहीकृत करने का प्रयास करें:

3a ³ - 3a ² b + 9ab ² -a ² + ab-3b ² = (3a ³ -a ²) + (- 3a ² b + 9ab ²) + (ab-3b ²)

अब प्रत्येक कोष्ठक तथ्यपूर्ण है:

= (3a ³ -a ²) + (- 3a ² b + 9ab ²) + (ab -3b ²) = a ² (3a - 1) + 3ab (3b –a) + b (a-3b)

पहली नज़र में ऐसा लगता है कि स्थिति जटिल हो गई है, लेकिन पाठक को हतोत्साहित नहीं किया जाना चाहिए, क्योंकि हम अंतिम कार्यकाल को फिर से लिखने जा रहे हैं:

a ² (3a - 1) + 3ab (3b –a) + b (a-3b) = a ² (3a - 1) + 3ab (3b-a) - b (3b-a)

पिछले दो शब्दों में अब एक सामान्य कारक है, जो (3 बी-ए) है, इसलिए उन्हें फैक्टर किया जा सकता है। पहले ² (3a - 1) शब्द की दृष्टि न खोना बहुत महत्वपूर्ण है, जो कि सब कुछ के साथ-साथ जारी रखना चाहिए, भले ही आप इसके साथ काम न कर रहे हों:

a ² (3a - 1) + 3ab (3b-a) - b (3b-a) = a ² (3a - 1) + (3b-a) (3ab-b)

अभिव्यक्ति को दो शब्दों में घटा दिया गया है और पिछले एक में एक नया सामान्य कारक खोजा गया है, जो "बी" है। अब यह बना हुआ है:

a ² (3a - 1) + (3b-a) (3ab-b) = a ² (3a - 1) + b (3b-a) (3a-1)

दिखने वाला अगला सामान्य कारक 3a - 1 है:

a ² (3a - 1) + b (3b-a) (3a-1) = (3a - 1)

या यदि आप कोष्ठक के बिना पसंद करते हैं:

(3 ए - 1) = (3 ए - 1) (क ² -ab + 3 बी ²)

क्या पाठक समूह बनाने का एक और तरीका खोज सकते हैं जो इसी परिणाम की ओर ले जाए?

चित्रा 2. प्रस्तावित फैक्टरिंग अभ्यास। स्रोत: एफ। ज़पाटा

संदर्भ

1. बाल्डोर, ए। 1974. प्राथमिक बीजगणित। सांस्कृतिक वेनेज़ोलाना एसए
2. जिमेनेज, आर। 2008. बीजगणित। शागिर्द कक्ष।
3. फैक्टरिंग के मुख्य मामले। से पुनर्प्राप्त: julioprofe.net।
4. यूएनएएम। मूल गणित: शब्दों के समूहीकरण द्वारा कारक। लेखा और प्रशासन के संकाय।
5. ज़िल, डी। 1984. बीजगणित और त्रिकोणमिति। मैकग्रा हिल।