विशेषण समारोह: यह क्या है, यह कैसे किया जाता है, उदाहरण, अभ्यास - गणित - 2025

एक विशेषण फ़ंक्शन वह है जो इंजेक्शन और विशेषण होने की दोहरी स्थिति को पूरा करता है । यही है, डोमेन के सभी तत्वों की कोडोमैन में एक ही छवि है, और बदले में कोडोमैन फ़ंक्शन (आर _एफ) के रैंक के बराबर है ।

यह डोमेन और कोडोमैन के तत्वों के बीच एक-से-एक संबंध पर विचार करके पूरा होता है। एक सरल उदाहरण फ़ंक्शन एफ: आर → आर है जिसे लाइन एफ (एक्स) = एक्स द्वारा परिभाषित किया गया है

स्रोत: लेखक

यह देखा गया है कि डोमेन या स्टार्टिंग सेट के प्रत्येक मूल्य के लिए (दोनों शब्द समान रूप से लागू होते हैं) कोडोमैन या आगमन सेट में एक ही छवि है। इसके अलावा, छवि के अलावा कोडोमैन का कोई तत्व नहीं है।

इस तरह F: R → R को लाइन F (x) = x द्वारा परिभाषित किया गया है जो कि विशेषण है

आप एक विशेषण फ़ंक्शन कैसे करते हैं?

इसका उत्तर देने के लिए, किसी फ़ंक्शन की इंजेक्टिविटी और ओवरजेक्टिविटी से संबंधित अवधारणाओं के बारे में स्पष्ट होना आवश्यक है, साथ ही आवश्यकताओं के लिए उन्हें अनुकूलित करने के लिए कंडीशनिंग कार्यों के मानदंड भी।

एक समारोह की इंजेक्शन

एक फ़ंक्शन इंजेक्टिव होता है जब उसके डोमेन के प्रत्येक तत्व कोडोमैन के एकल तत्व से संबंधित होते हैं। कोडोमैन का एक तत्व केवल डोमेन के एकल तत्व की छवि हो सकता है, इस तरह निर्भर चर के मूल्यों को दोहराया नहीं जा सकता है।

एक फ़ंक्शन इंजेक्टिव पर विचार करने के लिए, निम्नलिखित को पूरा किया जाना चाहिए:

∀ x _{1 2} x ₂ ⇒ F (x ₁) x F (x ₂)

एक समारोह की विशिष्टता

एक फ़ंक्शन को विशेषण के रूप में वर्गीकृत किया जाता है यदि इसके कोडोमैन का प्रत्येक तत्व डोमेन के कम से कम एक तत्व की एक छवि है।

एक फ़ंक्शन विशेषण पर विचार करने के लिए, निम्नलिखित को पूरा किया जाना चाहिए:

आज्ञा देना एफ: डी _एफ → सी _एफ

∀ बी ∀ सी _एफ ई ए ∀ डी _एफ / एफ (ए) = बी

यह स्थापित करने का बीजगणितीय तरीका है कि प्रत्येक "बी" के लिए जो कि सी _एफ से संबंधित है एक "ए" है जो डी _{एफ के} अंतर्गत आता है जैसे कि "ए" में मूल्यांकन किए गए फ़ंक्शन "बी" के बराबर है।

समारोह कंडीशनिंग

कभी-कभी एक ऐसा फ़ंक्शन जो विशेषण नहीं होता है, उसे कुछ शर्तों के अधीन किया जा सकता है। ये नई परिस्थितियां इसे एक विशेषण फ़ंक्शन बना सकती हैं । डोमेन के सभी प्रकार के संशोधन और फ़ंक्शन के कोडोमैन मान्य हैं, जहां उद्देश्य संबंधित रिश्ते में इंजेक्शन और विशेषण के गुणों को पूरा करना है।

उदाहरण: हल किए गए अभ्यास

अभ्यास 1

फ़ंक्शन F: R → R को लाइन F (x) = 5x +1 द्वारा परिभाषित किया जाए

ए:

यह देखा गया है कि डोमेन के हर मूल्य के लिए कोडोमैन में एक छवि होती है। यह छवि अद्वितीय है जो एफ को एक इंजेक्शन फ़ंक्शन बनाती है । उसी तरह, हम मानते हैं कि फ़ंक्शन का कोडोमेन इसकी रैंक के बराबर है। इस प्रकार की शर्त को पूरा करने surjectivity ।

एक ही समय में इंजेक्शन और विशेषण होने के नाते हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं

F: R → R लाइन द्वारा परिभाषित F (x) = 5x +1 एक विशेषण फ़ंक्शन है।

यह सभी रैखिक कार्यों (कार्य जिनके चर की उच्चतम डिग्री एक है) पर लागू होता है।

व्यायाम २

फ़ंक्शन को R: R → R को F (x) = 3x ² - 2 द्वारा परिभाषित किया जाए

क्षैतिज रेखा खींचते समय, यह देखा जाता है कि ग्राफ एक से अधिक अवसरों पर पाया जाता है। इसके कारण फ़ंक्शन F इंजेक्टिव नहीं है और इसलिए यह तब तक Bijective नहीं होगा जब तक इसे R → R में परिभाषित नहीं किया जाता है

इसी तरह, कोडोमैन मूल्य हैं जो डोमेन के किसी भी तत्व की छवियां नहीं हैं। इसके कारण, फ़ंक्शन विशेषण नहीं है, जो आगमन सेट की स्थिति के लिए भी योग्य है।

हम फ़ंक्शन के डोमेन और कोडन को कंडीशन करने के लिए आगे बढ़ते हैं

एफ: →

जहां यह देखा गया है कि नया डोमेन शून्य से सकारात्मक अनंत तक के मूल्यों को कवर करता है। मूल्यों की पुनरावृत्ति से बचना जो इंजेक्शन को प्रभावित करता है।

इसी तरह, कोडोमैन को संशोधित किया गया है, "-2" से सकारात्मक अनंत तक की गिनती, कोडोमैन से उन मूल्यों को समाप्त करना जो डोमेन के किसी भी तत्व के अनुरूप नहीं थे

इस तरह यह सुनिश्चित किया जा सकता है कि एफ : → एफ (एक्स) = 3x ² - 2 द्वारा परिभाषित किया गया है

यह विशेषण है

व्यायाम ३

फ़ंक्शन को F: R → R को F (x) = सेन (x) द्वारा परिभाषित किया गया है।

अंतराल में साइन फ़ंक्शन शून्य और एक के बीच अपने परिणामों को बदलता है।

स्रोत: लेखक

फ़ंक्शन एफ इंजेक्शन और सर्जिटिविटी के मानदंडों के अनुरूप नहीं है, क्योंकि निर्भर चर के मूल्यों को every के हर अंतराल को दोहराया जाता है। इसके अलावा, अंतराल के बाहर कोडोमैन की शर्तें डोमेन के किसी भी तत्व की छवि नहीं हैं।

फ़ंक्शन F (x) = Sen (x) के ग्राफ का अध्ययन करते समय, अंतराल देखे जाते हैं जहां वक्र का व्यवहार जीवगत मानदंडों को पूरा करता है । उदाहरण के लिए डोमेन के लिए अंतराल D _f = । और कोडोमेन के लिए सी _एफ = ।

जहां फ़ंक्शन 1 से -1 के बीच भिन्न होता है, बिना आश्रित चर में कोई मान दोहराए बिना। और एक ही समय में कोडोमैन अभिव्यक्ति सेन (x) द्वारा अपनाए गए मूल्यों के बराबर है

इस प्रकार फ़ंक्शन एफ: → एफ (एक्स) = सेन (एक्स) द्वारा परिभाषित किया गया है । यह बायजेक्टिव है

व्यायाम ४

डी _एफ और सी _{एफ के} लिए आवश्यक शर्तें _{बताएं} । तो अभिव्यक्ति

F (x) = -x ² बायजेक्टिव हो।

स्रोत: लेखक

जब चर विपरीत मान लेता है तो परिणामों की पुनरावृत्ति देखी जाती है:

एफ (2) = एफ (-2) = -4

एफ (3) = एफ (-3) = -9

एफ (4) = एफ (-4) = -16

डोमेन वातानुकूलित है, इसे वास्तविक रेखा के दाईं ओर सीमित किया गया है।

डी _एफ =

उसी तरह, यह देखा गया है कि इस फ़ंक्शन की श्रेणी अंतराल है, जो जब एक कोडोमैन के रूप में कार्य करता है, तो वह विशेषण की शर्तों को पूरा करता है।

इस तरह हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं

अभिव्यक्ति F: → F (x) = -x ² द्वारा परिभाषित यह जीवनात्मक है

प्रस्तावित अभ्यास

जाँच करें कि क्या निम्नलिखित कार्य विशेषण हैं:

F: → R परिभाषित F (x) = 5ctg (x)

F: → R परिभाषित एफ (x) = कॉस (x - 3)

F: R → R को रेखा F (x) = -5x + 4 द्वारा परिभाषित किया गया है

संदर्भ

1. लॉजिक और क्रिटिकल थिंकिंग का परिचय। मेरिल्ले एच। सैल्मन। पिट्सबर्ग विश्वविद्यालय
2. गणितीय विश्लेषण में समस्याएं। पिओटर ब्रेलर, अल्फ्रेड विटकोव्स्की। व्रोकला विश्वविद्यालय। पोलैंड।
3. सार विश्लेषण के तत्व। मिचेल ओ'सर्कॉइड पीएचडी। गणित विभाग। यूनिवर्सिटी कॉलेज डबलिन, बेल्डफील्ड, डब्लिंड 4
4. लॉजिक विज्ञान के तर्क और पद्धति का परिचय। अल्फ्रेड टार्स्की, न्यूयॉर्क ऑक्सफोर्ड। ऑक्सफोर्ड यूनिवरसिटि प्रेस।
5. गणितीय विश्लेषण के सिद्धांत। एनरिक लिनेस एस्कर्डो। संपादकीय रिवर्ट एस ए 1991। बार्सिलोना स्पेन।