लगातार कार्य: विशेषताएं, उदाहरण, अभ्यास - गणित - 2025

निरंतर समारोह है जिसमें y के मूल्य को स्थिर रखा गया है। दूसरे शब्दों में: एक स्थिर फ़ंक्शन में हमेशा फॉर्म f (x) = k होता है, जहां k एक वास्तविक संख्या होती है।

जब xy निर्देशांक प्रणाली में निरंतर फ़ंक्शन को रेखांकन करते हैं, तो क्षैतिज या x- अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा हमेशा परिणाम देती है।

चित्र 1. कार्तीय तल पर कई स्थिर कार्यों का ग्राफ। स्रोत: विकिमीडिया कॉमन्स उपयोगकर्ता: HiTe

यह फ़ंक्शन एफाइन फ़ंक्शन का एक विशेष मामला है, जिसका ग्राफ भी एक सीधी रेखा है, लेकिन ढलान के साथ। निरंतर फ़ंक्शन में शून्य ढलान है, अर्थात, यह एक क्षैतिज रेखा है, जैसा कि आकृति 1 में देखा जा सकता है।

वहां तीन स्थिर कार्यों का ग्राफ दिखाया गया है:

सभी क्षैतिज अक्ष के समानांतर की रेखाएं हैं, पहले वाला एक अक्ष के नीचे है, जबकि बाकी ऊपर हैं।

लगातार समारोह विशेषताओं

हम निम्न प्रकार से स्थिर फ़ंक्शन की मुख्य विशेषताओं को संक्षेप में प्रस्तुत कर सकते हैं:

-आईटी ग्राफ एक क्षैतिज सीधी रेखा है।

-इसका y अक्ष के साथ एक अद्वितीय चौराहा है, जिसका मूल्य k है।

-यह निरंतर है।

-सामान्य फ़ंक्शन का डोमेन (मानों का सेट जो x हो सकता है) वास्तविक संख्या R का सेट है ।

पथ, श्रेणी या प्रति-डोमेन (मान जो चर y लेता है) बस निरंतर k है।

उदाहरण

मात्राओं के बीच संबंध स्थापित करने के लिए फ़ंक्शंस आवश्यक हैं जो किसी तरह एक-दूसरे पर निर्भर करते हैं। उनके बीच का संबंध गणितीय रूप से निर्धारित किया जा सकता है, यह पता लगाने के लिए कि उनमें से एक कैसे बदलता है जब दूसरा बदलता है।

यह कई स्थितियों के लिए मॉडल बनाने और उनके व्यवहार और विकास के बारे में भविष्यवाणियां करने में मदद करता है।

अपनी स्पष्ट सादगी के बावजूद, निरंतर फ़ंक्शन में कई अनुप्रयोग हैं। उदाहरण के लिए, जब ऐसी मात्राओं का अध्ययन करना आता है जो समय के साथ स्थिर रहती हैं, या कम से कम एक प्रशंसनीय समय के लिए।

इस तरह, परिमाण निम्न स्थितियों जैसे व्यवहार करते हैं:

-एक लंबे सीधे राजमार्ग के साथ चलती कार की मंडराती गति। जब तक आप ब्रेक या तेज नहीं करते, कार में एक समान आयताकार गति होती है।

चित्र 2. यदि कार ब्रेक नहीं करती है या तेज नहीं होती है, तो इसमें एक समान आयताकार गति होती है। स्रोत: पिक्साबे

-एक सर्किट से पूरी तरह से चार्ज किए गए संधारित्र को समय के साथ निरंतर चार्ज किया जाता है।

-दरअसल, एक फ्लैट रेट पार्किंग एक निरंतर कीमत बनाए रखता है चाहे कितनी भी लंबी कार वहां खड़ी हो।

एक निरंतर कार्य का प्रतिनिधित्व करने का दूसरा तरीका

निरंतर फ़ंक्शन वैकल्पिक रूप से निम्नानुसार प्रतिनिधित्व किया जा सकता है:

चूँकि x का कोई मान 0 से बढ़ा है, परिणामस्वरूप 1 देता है, पिछली अभिव्यक्ति पहले से परिचित व्यक्ति के लिए कम हो जाती है:

बेशक, जब तक k का मान 0 से भिन्न होता है।

यही कारण है कि स्थिर फ़ंक्शन को डिग्री 0 के बहुपद समारोह के रूप में भी वर्गीकृत किया जाता है, क्योंकि चर x का घातांक 0 है।

हल किया हुआ व्यायाम

- अभ्यास 1

निम्नलिखित प्रश्नो के उत्तर दो:

a) क्या यह कहा जा सकता है कि x = 4 द्वारा दी गई रेखा एक स्थिर कार्य है? अपने जवाब के लिए कारण दें।

ख) क्या एक स्थिर कार्य में x- अवरोधन हो सकता है?

c) फंक्शन f (x) = w ² स्थिर है ?

को उत्तर

यहाँ लाइन x = 4 का ग्राफ दिया गया है:

चित्रा 3. रेखा का ग्राफ x = 4. स्रोत: एफ। ज़पाटा।

लाइन x = 4 एक फ़ंक्शन नहीं है; फ़ंक्शन द्वारा परिभाषा एक ऐसा संबंध है, जिसमें चर x का प्रत्येक मान y के एक मान से मेल खाता है। और इस मामले में यह सही नहीं है, क्योंकि x = 4 का मान y के अनंत मूल्यों से जुड़ा है। इसलिए उत्तर नहीं है।

उत्तर b

सामान्य तौर पर, एक स्थिर फ़ंक्शन का कोई x- इंटरसेप्ट नहीं होता है, जब तक कि यह y = 0 न हो, इस मामले में यह स्वयं एक्स-एक्सिस है।

उत्तर c

हाँ, चूँकि w स्थिर है, इसलिए इसका वर्ग भी स्थिर है। क्या मायने रखता है कि w इनपुट चर x पर निर्भर नहीं करता है।

- व्यायाम २

कार्यों के बीच का अंतर ज्ञात करें f (x) = 5 और g (x) = 5x - 2

उपाय

इन दो कार्यों के बीच चौराहे को खोजने के लिए, उन्हें क्रमशः इस प्रकार लिखा जा सकता है:

वे समान हैं, प्राप्त करना:

पहली डिग्री का एक रेखीय समीकरण क्या है, जिसका हल है:

चौराहे का बिंदु (7 / 5,5) है।

- व्यायाम 3

दिखाएँ कि एक स्थिर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न 0 है।

उपाय

व्युत्पन्न की परिभाषा से हमारे पास है:

परिभाषा में प्रतिस्थापित:

इसके अलावा, यदि हम व्युत्पन्न को डाई / डीएक्स की दर के रूप में मानते हैं, तो स्थिर फ़ंक्शन किसी भी परिवर्तन से नहीं गुजरता है, इसलिए इसका व्युत्पन्न शून्य है।

- व्यायाम 4

एफ (x) = k के अनिश्चितकालीन अभिन्न का पता लगाएं।

उपाय

चित्र 4. व्यायाम के मोबाइल के लिए फ़ंक्शन v (t) का ग्राफ 6. स्रोत: F. Zapata।

यह पूछता है:

a) समय v (t) के कार्य के रूप में वेग फ़ंक्शन के लिए एक अभिव्यक्ति लिखें।

बी) 0 और 9 सेकंड के बीच के समय अंतराल में मोबाइल द्वारा यात्रा की गई दूरी का पता लगाएं।

का हल

दिखाए गए ग्राफ से पता चलता है कि:

- 0 और 3 सेकंड के बीच के अंतराल में v = 2 m / s

-इस 3 से 5 सेकंड के बीच मोबाइल बंद हो जाता है, क्योंकि इस अंतराल में गति 0 होती है।

- v = - 3 मी / से 5 और 9 सेकंड के बीच।

यह एक टुकड़े-टुकड़े समारोह, या टुकड़े-टुकड़े समारोह का एक उदाहरण है, जो बदले में निरंतर कार्यों से बना है, जो केवल संकेतित समय अंतराल के लिए मान्य है। यह निष्कर्ष निकाला गया है कि वांछित कार्य है:

समाधान b

V (t) ग्राफ से, मोबाइल द्वारा तय की गई दूरी की गणना की जा सकती है, जो संख्यात्मक रूप से / वक्र के नीचे के क्षेत्र के बराबर होती है। इस तरह:

-डिस्टेंस 0 और 3 सेकंड = 2 मीटर / सेकंड के बीच यात्रा की। 3 एस = 6 मी

- 3 से 5 सेकंड के बीच उसे हिरासत में लिया गया, इसलिए उसने कोई दूरी नहीं तय की।

-Distance 5 और 9 सेकंड = 3 मीटर / सेकंड के बीच यात्रा की। 4 एस = 12 मीटर

कुल मिलाकर मोबाइल ने 18 मी। ध्यान दें कि हालांकि 5 और 9 सेकंड के अंतराल में गति नकारात्मक है, लेकिन यात्रा की गई दूरी सकारात्मक है। क्या होता है कि उस समय के अंतराल के दौरान, मोबाइल ने अपनी गति की भावना को बदल दिया था।

संदर्भ

1. Geogebra। लगातार कार्य। से पुनर्प्राप्त: geogebra.org।
2. MAPLESOFT। लगातार कार्य। से पुनर्प्राप्त: maplesoft.com।
3. विकिबुक्स। एक चर / कार्यों / लगातार समारोह में गणना। से पुनर्प्राप्त: es.wikibooks.org
4. विकिपीडिया। लगातार कार्य। से पुनर्प्राप्त: en.wikipedia.org
5. विकिपीडिया। लगातार कार्य। से पुनर्प्राप्त: es.wikipedia.org।