विशेषण समारोह: यह क्या है, इसके लिए क्या है और उदाहरण हैं - गणित - 2025

एक इंजेक्शन फ़ंक्शन कोडोमैन के एकल तत्व के साथ डोमेन के तत्वों का कोई संबंध है। एक-से-एक फ़ंक्शन (1 - 1) के रूप में भी जाना जाता है, वे अपने तत्वों से संबंधित होने के तरीके के संबंध में कार्यों के वर्गीकरण का हिस्सा हैं।

कोडोमैन का एक तत्व केवल डोमेन के एकल तत्व की छवि हो सकता है, इस तरह निर्भर चर के मूल्यों को दोहराया नहीं जा सकता है।

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एक स्पष्ट उदाहरण समूह ए में नौकरियों के साथ पुरुषों का समूह होगा, और समूह बी में सभी बॉस। फंक्शन एफ वह होगा जो प्रत्येक कार्यकर्ता को उसके बॉस के साथ जोड़ता है। यदि प्रत्येक कार्यकर्ता एफ के माध्यम से एक अलग बॉस के साथ जुड़ा हुआ है, तो एफ एक इंजेक्शन समारोह होगा ।

एक फ़ंक्शन इंजेक्टिव पर विचार करने के लिए, निम्नलिखित को पूरा किया जाना चाहिए:

∀ x _{1 2} x ₂ ⇒ F (x ₁) x F (x ₂)

यह कहने का बीजीय तरीका है हर एक्स के लिए ₁ अलग एक्स से ₂ हम एक एफ (एक्स है ₁) एफ (एक्स से अलग ₂)।

इंजेक्शन के लिए क्या कार्य कर रहे हैं?

इंजेक्टिविटी निरंतर कार्यों की एक संपत्ति है, क्योंकि वे डोमेन के प्रत्येक तत्व के लिए छवियों के असाइनमेंट को सुनिश्चित करते हैं, एक फ़ंक्शन की निरंतरता में एक आवश्यक पहलू है।

जब एक इंजेक्शन फ़ंक्शन के ग्राफ पर एक्स अक्ष के समानांतर एक रेखा खींचती है, तो ग्राफ को केवल एक बिंदु पर छुआ जाना चाहिए, कोई फर्क नहीं पड़ता कि वाई लाइन की ऊंचाई या परिमाण क्या है। यह एक फ़ंक्शन की इंजेक्टिविटी का परीक्षण करने का ग्राफिकल तरीका है।

परीक्षण का एक अन्य तरीका यदि कोई फ़ंक्शन इंजेक्टिव है, तो आश्रित चर Y के संदर्भ में स्वतंत्र चर X को हल करके है । तब यह सत्यापित किया जाना चाहिए कि इस नई अभिव्यक्ति के डोमेन में वास्तविक संख्याएँ हैं, उसी समय Y के प्रत्येक मान के लिए। X का एकल मान है।

फ़ंक्शंस या ऑर्डर रिलेशनशिप को मानते हैं, अन्य तरीकों के साथ, संकेतन F: D _f → C _f

F से जो पढ़ा जाता है वह D _F से C _f तक जाता _है

जहां फ़ंक्शन F सेट डोमेन और कोडोमैन से संबंधित है । इसे शुरुआती सेट और फिनिशिंग सेट के रूप में भी जाना जाता है।

डोमेन डी _एफ में स्वतंत्र चर के लिए अनुमत मूल्य शामिल हैं। कोडोमैन सी _एफ निर्भर चर के लिए उपलब्ध सभी मूल्यों से बना है। के तत्वों सी _एफ से संबंधित डी _एफ रूप में जाना जाता समारोह (आर की रेंज _च)।

समारोह कंडीशनिंग

कभी-कभी एक फ़ंक्शन जो इंजेक्शन नहीं है, उसे कुछ शर्तों के अधीन किया जा सकता है। ये नई स्थितियां इसे एक इंजेक्शन कार्य कर सकती हैं । फ़ंक्शन के डोमेन और कोडोमैन में सभी प्रकार के संशोधन मान्य हैं, जहां उद्देश्य संबंधित रिश्ते में इंजेक्शन गुणों को पूरा करना है।

हल किए गए अभ्यासों के साथ इंजेक्शन कार्यों के उदाहरण

उदाहरण 1

फ़ंक्शन F: R → R को लाइन F (x) = 2x - 3 द्वारा परिभाषित किया जाए

ए:

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यह देखा गया है कि डोमेन के प्रत्येक मूल्य के लिए कोडोमैन में एक छवि होती है। यह छवि अद्वितीय है जो एफ को एक इंजेक्शन फ़ंक्शन बनाती है। यह सभी रैखिक कार्यों (कार्य जिनके चर की उच्चतम डिग्री एक है) पर लागू होता है।

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उदाहरण 2

फ़ंक्शन को R: R → R को F (x) = x ² +1 द्वारा परिभाषित करें

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क्षैतिज रेखा खींचते समय, यह देखा जाता है कि ग्राफ एक से अधिक अवसरों पर पाया जाता है। इस के कारण समारोह एफ के रूप में रूप में लंबे समय injective नहीं है आर → आर परिभाषित किया गया है

हम फ़ंक्शन के डोमेन को कंडीशन करने के लिए आगे बढ़ते हैं:

एफ: आर ⁺ यू {0} → आर

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अब स्वतंत्र चर नकारात्मक मान नहीं लेता है, इस तरह से दोहराए जाने वाले परिणामों से बचा जाता है और फ़ंक्शन F: R ⁺ U {0} → R द्वारा परिभाषित F (x) = x ² + 1 इंजेक्शन है ।

एक अन्य सजातीय समाधान डोमेन को बाईं ओर सीमित करना होगा, अर्थात् फ़ंक्शन को केवल नकारात्मक और शून्य मान लेने के लिए प्रतिबंधित करना।

हम फ़ंक्शन के डोमेन को कंडीशन करने के लिए आगे बढ़ते हैं

एफ: आर ^- यू {0} → आर

स्रोत: लेखक

अब स्वतंत्र चर नकारात्मक मान नहीं लेता है, इस तरह से दोहराए जाने वाले परिणामों से बचा जाता है और फ़ंक्शन F: R ^- U {0} → R द्वारा परिभाषित एफ (x) = x ² + 1 इंजेक्शन है ।

त्रिकोणमितीय कार्यों में तरंग-जैसा व्यवहार होता है, जहाँ आश्रित चर में मानों की पुनरावृत्ति का पता लगाना बहुत आम बात है। विशिष्ट कंडीशनिंग के माध्यम से, इन कार्यों के पूर्व ज्ञान के आधार पर, हम इंजेक्शन की शर्तों को पूरा करने के लिए डोमेन को संकीर्ण कर सकते हैं।

उदाहरण 3

फ़ंक्शन को F: → R को F (x) = कॉस (x) द्वारा परिभाषित किया गया है

अंतराल में कोसाइन फ़ंक्शन शून्य और एक के बीच अपने परिणामों को बदलता है।

स्रोत: लेखक

जैसा कि ग्राफ में देखा जा सकता है। यह शून्य से x = - from / 2 से शुरू होता है, फिर अधिकतम शून्य पर पहुंचता है। यह x = 0 के बाद है कि मानों को दोहराना शुरू हो जाता है, जब तक कि वे x = x / 2 पर शून्य नहीं लौटते । इस तरह यह ज्ञात है कि एफ (एक्स) = कॉस (एक्स) अंतराल के लिए इंजेक्शन नहीं है ।

फ़ंक्शन एफ (x) = कॉस (x) के ग्राफ का अध्ययन करते समय, अंतराल देखे जाते हैं जहां वक्र का व्यवहार इंजेक्शन मानदंड के अनुकूल होता है। जैसे कि अंतराल

जहां फ़ंक्शन 1 से -1 के बीच भिन्न होता है, बिना आश्रित चर में कोई मान दोहराए बिना।

इस तरह फंक्शन फंक्शन F: → R एफ (x) = कॉस (x) द्वारा परिभाषित होता है । यह इंजेक्टिव है

ऐसे गैरकानूनी कार्य हैं जहां समान मामले होते हैं। तर्कसंगत प्रकार की अभिव्यक्तियों के लिए, जहां भाजक में कम से कम एक चर होता है, ऐसे प्रतिबंध हैं जो रिश्ते की इंजेक्शन को रोकते हैं।

उदाहरण 4

फ़ंक्शन को R: R → R को F (x) = 10 / x द्वारा परिभाषित किया जाए

फ़ंक्शन को {0} को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित किया गया है जिनके पास एक अनिश्चितता है (इसे शून्य से विभाजित नहीं किया जा सकता है) ।

जैसा कि निर्भर चर बाईं ओर से शून्य तक पहुंचता है, यह बहुत बड़े नकारात्मक मान लेता है, और शून्य के तुरंत बाद, निर्भर चर के मान बड़े सकारात्मक आंकड़े लेते हैं।

यह व्यवधान F: R → R को F (x) = 10 / x द्वारा परिभाषित किया गया है

इंजेक्शन मत करो।

जैसा कि पिछले उदाहरणों में देखा गया है, डोमेन में मूल्यों का बहिष्करण इन अनिश्चितताओं को "ठीक" करने का काम करता है। हम डोमेन से शून्य को बाहर करने के लिए आगे बढ़ते हैं, इस प्रकार परिभाषित किए गए शुरुआती और परिष्करण सेट छोड़ते हैं:

आर - {0} → आर

जहाँ R - {0} एक सेट को छोड़कर वास्तविक का प्रतीक है जिसका एकमात्र तत्व शून्य है।

इस तरह एफ: आर ​​- {0} → आर एफ (एक्स) = 10 / एक्स द्वारा परिभाषित अभिव्यक्ति इंजेक्टिव है।

उदाहरण 5

फ़ंक्शन को F: → R को F (x) = सेन (x) द्वारा परिभाषित किया गया है।

अंतराल में साइन फ़ंक्शन शून्य और एक के बीच अपने परिणामों को बदलता है।

स्रोत: लेखक

जैसा कि ग्राफ में देखा जा सकता है। यह शून्य से x = 0 पर शुरू होता है और फिर x = x / 2 पर अधिकतम पहुंचता है । यह x = π / 2 के बाद है कि मानों को दोहराना शुरू हो जाता है, जब तक कि वे x = π पर शून्य नहीं लौटते । इस तरह यह ज्ञात है कि एफ (x) = सेन (x) अंतराल के लिए इंजेक्शन नहीं है ।

फ़ंक्शन एफ (एक्स) = सेन (एक्स) के ग्राफ का अध्ययन करते समय, अंतराल देखे जाते हैं जहां वक्र का व्यवहार इंजेक्शन मानदंड के लिए अनुकूल होता है। जैसे कि अंतराल

जहां फ़ंक्शन 1 से -1 के बीच भिन्न होता है, बिना आश्रित चर में कोई मान दोहराए बिना।

इस तरह फ़ंक्शन एफ: → आर एफ (एक्स) = सेन (एक्स) द्वारा परिभाषित किया गया है । यह इंजेक्टिव है

उदाहरण 6

जांचें कि क्या फ़ंक्शन F: → R द्वारा परिभाषित एफ (x) = टैन (x)

F: → R परिभाषित एफ (x) = कॉस (x + 1)

F: R → R को लाइन द्वारा परिभाषित किया गया F (x) = 7x + 2

संदर्भ

1. लॉजिक और क्रिटिकल थिंकिंग का परिचय। मेरिल्ले एच। सैल्मन। पिट्सबर्ग विश्वविद्यालय
2. गणितीय विश्लेषण में समस्याएं। पिओटर ब्रेलर, अल्फ्रेड विटकोव्स्की। व्रोकला विश्वविद्यालय। पोलैंड।
3. सार विश्लेषण के तत्व। मिचेल ओ'सर्कॉइड पीएचडी। गणित विभाग। यूनिवर्सिटी कॉलेज डबलिन, बेल्डफील्ड, डब्लिंड 4।
4. लॉजिक विज्ञान के तर्क और पद्धति का परिचय। अल्फ्रेड टार्स्की, न्यूयॉर्क ऑक्सफोर्ड। ऑक्सफोर्ड यूनिवरसिटि प्रेस।
5. गणितीय विश्लेषण के सिद्धांत। एनरिक लिनेस एस्कर्डो। संपादकीय रिवर्ट एस ए 1991। बार्सिलोना स्पेन।