लॉगरिदमिक फ़ंक्शन: गुण, उदाहरण, अभ्यास - गणित - 2025

लघुगणक समारोह एक गणितीय संबंध है कि एक आधार एक पर अपनी लघुगणक y के साथ सहयोगियों प्रत्येक सकारात्मक वास्तविक संख्या एक्स। यह संबंध एक फ़ंक्शन होने के लिए आवश्यकताओं को पूरा करता है: डोमेन से संबंधित प्रत्येक तत्व x में एक अद्वितीय छवि है।

इस प्रकार:

चूँकि एक संख्या x पर आधारित लघुगणक संख्या y है जिसके आधार को x प्राप्त करने के लिए उठाया जाना चाहिए।

आधार के -इस लघुगणक हमेशा 1. इस प्रकार, f (x) का ग्राफ = लॉग ऑन है _एक एक्स हमेशा बिंदु पर x- अक्ष काटती है (1,0)

लॉगरिदमिक फ़ंक्शन ट्रान्सेंडेंट है और बहुपद के रूप में या इनमें से एक भागफल के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। लघुगणक के अलावा, इस समूह में त्रिकोणमितीय कार्य और घातांक, अन्य शामिल हैं।

उदाहरण

लॉगरिदमिक फ़ंक्शन को विभिन्न ठिकानों द्वारा स्थापित किया जा सकता है, लेकिन सबसे अधिक इस्तेमाल किया जाता है 10 और ई, जहां ई ईलर नंबर 2.71828 के बराबर है…।

जब बेस 10 का उपयोग किया जाता है, तो लघुगणक को एक दशमलव लघुगणक, साधारण लघुगणक, ब्रिग्स या केवल सादा लघुगणक कहा जाता है।

और यदि संख्या ई का उपयोग किया जाता है, तो इसे एक प्राकृतिक लघुगणक कहा जाता है, जॉन नेपियर के बाद, स्कॉटिश गणितज्ञ जिन्होंने लघुगणक की खोज की थी।

प्रत्येक के लिए प्रयुक्त संकेतन निम्नलिखित है:

-Decimal लघुगणक: लॉग ₁₀ x = लॉग x

-Nianian logarithm: ln x

जब एक और आधार का उपयोग होने जा रहा है, तो इसे सबस्क्रिप्ट के रूप में इंगित करना आवश्यक है, क्योंकि उपयोग किए जाने वाले आधार के आधार पर प्रत्येक संख्या का लघुगणक भिन्न होता है। उदाहरण के लिए, यदि यह आधार 2 में लघुगणक है, तो लिखें:

y = लॉग ₂ x

आइए इस बिंदु को स्पष्ट करने के लिए तीन अलग-अलग आधारों में संख्या 10 के लघुगणक को देखें:

लॉग 10 = 1

ln 10 = 2.30259

लॉग ₂ 10 = 3.32193

सामान्य कैलकुलेटर केवल दशमलव लघुगणक (लॉग फ़ंक्शन) और प्राकृतिक लघुगणक (ln फ़ंक्शन) लाते हैं। इंटरनेट पर अन्य ठिकानों के साथ कैलकुलेटर हैं। किसी भी मामले में, पाठक इसकी मदद से सत्यापित कर सकता है कि पिछले मान संतुष्ट हैं:

10 ¹ = 10

ई ^2.3026 = 10.0001

2 ^3.32193 = ^10.0000

लघु दशमलव अंतर लॉगरिदम की गणना में लिए गए दशमलव स्थानों की संख्या के कारण होता है।

लघुगणक के फायदे

लघुगणक का उपयोग करने के फायदों में से वे बड़ी संख्या के साथ काम करने में आसानी प्रदान करते हैं, सीधे संख्या के बजाय अपने लघुगणक का उपयोग करना।

यह संभव है क्योंकि लॉगरिथम फ़ंक्शन अधिक धीमी गति से बढ़ता है क्योंकि संख्याएं बड़ी हो जाती हैं, जैसा कि हम ग्राफ में देख सकते हैं।

इसलिए बहुत बड़ी संख्या के साथ भी, उनके लघुगणक बहुत छोटे होते हैं, और छोटी संख्याओं में हेरफेर करना हमेशा आसान होता है।

इसके अतिरिक्त, लघुगणक में निम्नलिखित गुण होते हैं:

- उत्पाद: लॉग (एबी) = लॉग + ए लॉग बी

- उद्धरण: लॉग (ए / बी) = लॉग ए - लॉग बी

- पावर: एक ^b = b.log a लॉग करें

और इस तरह, उत्पाद और उद्धरण छोटी संख्या के जोड़ और घटाव बन जाते हैं, जबकि सशक्तिकरण एक साधारण उत्पाद बन जाता है, भले ही शक्ति अधिक हो।

यही कारण है कि लघुगणक हमें संख्याओं को व्यक्त करने की अनुमति देते हैं जो बहुत बड़ी मात्रा में मूल्यों में भिन्न होते हैं, जैसे ध्वनि की तीव्रता, एक समाधान का पीएच, तारों की चमक, विद्युत प्रतिरोध और रिक्टर पैमाने पर भूकंप की तीव्रता।

चित्र 2. भूकंप के परिमाण को निर्धारित करने के लिए रिक्टर पैमाने पर लघुगणक का उपयोग किया जाता है। यह चित्र 2010 के भूकंप के दौरान चिली के कॉनसेपियोन में एक ढही हुई इमारत को दर्शाता है। स्रोत: विकिमीडिया कॉमन्स

आइए, लघुगणक के गुणों से निपटने का एक उदाहरण देखें:

उदाहरण

निम्नलिखित अभिव्यक्ति में x का मान ज्ञात कीजिए:

जवाब दे दो

हमारे यहां लॉगरिदमिक समीकरण है, क्योंकि अज्ञात लॉगरिदम के तर्क में है। यह समानता के प्रत्येक पक्ष पर एक एकल लघुगणक को छोड़कर हल किया जाता है।

हम उन सभी शब्दों को रखते हुए शुरू करते हैं, जिनमें समानता के बाईं ओर "x" होता है, और इनमें दाईं ओर केवल संख्याएँ होती हैं:

log (5x + 1) - log (2x-1) = 1

बाईं ओर हमारे पास दो लघुगणक का घटाव है, जिसे भागफल के लघुगणक के रूप में लिखा जा सकता है:

लॉग = 1

हालाँकि, दाईं ओर नंबर 1 है, जिसे हम लॉग 10 के रूप में व्यक्त कर सकते हैं, जैसा कि हमने पहले देखा था। इसलिए:

log = लॉग 10

सत्य होने के लिए समानता के लिए, लघुगणकों के तर्क समान होने चाहिए:

(5x + 1) / (2x-1) = 10

5x + 1 = 10 (2x - 1)

5x + 1 = 20 x - 10

-15 x = -11

x = 11/15

आवेदन व्यायाम: रिक्टर स्केल

1957 में मेक्सिको में भूकंप आया था जिसकी तीव्रता रिक्टर पैमाने पर 7.7 थी। 1960 में चिली में 9.5 तीव्रता का एक और भूकंप आया।

गणना करें कि मेक्सिको में भूकंप कितनी बार मेक्सिको में एक से अधिक तीव्र था, यह जानते हुए कि रिक्टर पैमाने पर एम _आर के सूत्र द्वारा दिया गया है:

एम _आर = लॉग (10 ⁴ आई)

उपाय

भूकंप के रिक्टर पैमाने पर परिमाण एक लघुगणक कार्य है। हम प्रत्येक भूकंप की तीव्रता की गणना करने जा रहे हैं, क्योंकि हमारे पास रिक्टर परिमाण हैं। चलो यह कदम से कदम:

- मैक्सिको: 7.7 = लॉग (10 ⁴ आई)

चूंकि लघुगणक समारोह का व्युत्क्रम घातीय है, हम इसे I के लिए हल करने के इरादे से समानता के दोनों किनारों पर लागू करते हैं, जो कि लघुगणक के तर्क में पाया जाता है।

चूंकि वे दशमलव लघुगणक हैं, इसलिए आधार 10. है:

10 ^7.7 = 10 ⁴ आई

मेक्सिको भूकंप की तीव्रता थी:

I _M = 10 ^7.7 / 10 ⁴ = 10 ^3.7

- चिली: 9.5 = लॉग (10 ⁴ आई)

यही प्रक्रिया हमें चिली आई _च भूकंप की तीव्रता की ओर ले जाती है:

I _Ch = 10 ^9.5 / 10 ⁴ = 10 ^5.5

अब हम दोनों तीव्रता की तुलना कर सकते हैं:

I _Ch / I _M = 10 ^5.5 / 10 ^3.7 = 10 ^1.8 = 63.1

I _Ch = 63.1। आई _एम

चिली में भूकंप मेक्सिको की तुलना में लगभग 63 गुना अधिक तीव्र था। चूंकि परिमाण लघुगणक है, यह तीव्रता की तुलना में अधिक धीरे-धीरे बढ़ता है, इसलिए परिमाण में 1 का अंतर, भूकंपीय लहर के 10 गुना अधिक आयाम का मतलब है।

दोनों भूकंपों के परिमाण के बीच अंतर 1.8 है, इसलिए हम 100 से 10 के करीब तीव्रता में अंतर की उम्मीद कर सकते हैं, जैसा कि वास्तव में हुआ था।

वास्तव में, यदि अंतर ठीक 2 था, तो चिली भूकंप मैक्सिकन की तुलना में 100 गुना अधिक तीव्र होता।

संदर्भ

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