एक विशेषण फ़ंक्शन किसी भी संबंध है जहां कोडोमैन से संबंधित प्रत्येक तत्व डोमेन के कम से कम एक तत्व की एक छवि है। एक लिफाफे समारोह के रूप में भी जाना जाता है, वे अपने तत्वों से संबंधित तरीके के संबंध में कार्यों के वर्गीकरण का हिस्सा हैं।

उदाहरण के लिए एक फ़ंक्शन F: A → B को F (x) = 2x द्वारा परिभाषित किया गया है

जिसे " F से परिभाषित A से B में जाता है (F) = 2x" पढ़ा जाता है

आपको प्रारंभिक और परिष्करण सेट ए और बी को परिभाषित करना होगा ।

A: {1, 2, 3, 4, 5} अब F में मूल्यांकन किए जाने पर इनमें से प्रत्येक तत्व जो मान या चित्र देगा, वे कोडोमैन के तत्व होंगे।

एफ (1) = 2

एफ (2) = 4

एफ (3) = 6

एफ (4) = 8

एफ (5) = 10

इस प्रकार सेट बी: {२, ४, ६,:, १०}

यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि:

एफ: {१, २, ३, ४, ५} → {२, ४, ६, 2, १०} एफ (एक्स) = २१ से परिभाषित यह एक विशेषण क्रिया है।

कोडोमैन के प्रत्येक तत्व को प्रश्न में फ़ंक्शन के माध्यम से स्वतंत्र चर के कम से कम एक ऑपरेशन से परिणाम होना चाहिए। छवियों की कोई सीमा नहीं है, कोडोमैन का एक तत्व डोमेन के एक से अधिक तत्वों की छवि हो सकता है और फिर भी एक विशेषण फ़ंक्शन का प्रयास कर सकता है ।

छवि में सर्जिकल कार्यों के साथ 2 उदाहरण दिखाए गए हैं ।

स्रोत: लेखक

पहले में, यह देखा गया है कि छवियों को एक ही तत्व के लिए संदर्भित किया जा सकता है, बिना फ़ंक्शन की surjectivity से समझौता किए ।

दूसरे में हम डोमेन और छवियों के बीच एक समान वितरण देखते हैं। इससे बायजेक्टिव फंक्शन को बढ़ावा मिलता है, जहां इंजेक्शन फंक्शन और सर्जेक्टिव फंक्शन के मापदंड को पूरा करना चाहिए ।

विशेषण कार्यों की पहचान करने के लिए एक अन्य विधि यह सत्यापित करना है कि कोडोमैन फ़ंक्शन के रैंक के बराबर है या नहीं। इसका मतलब यह है कि यदि स्वतंत्र चर का मूल्यांकन करते समय फ़ंक्शन द्वारा दिया गया आगमन सेट छवियों के बराबर है, तो फ़ंक्शन विशेषण है।

गुण

एक फ़ंक्शन विशेषण पर विचार करने के लिए, निम्नलिखित को पूरा किया जाना चाहिए:

आज्ञा देना एफ: डी _एफ → सी _एफ

∀ बी ∀ सी _एफ ई ए ∀ डी _एफ / एफ (ए) = बी

यह स्थापित करने का बीजगणितीय तरीका है कि हर "बी" के लिए जो कि सी _एफ से संबंधित है एक "ए" है जो डी _एफ से संबंधित है ताकि "एफ" में मूल्यांकन किया गया फ़ंक्शन "बी" के बराबर हो।

विशेषण कार्यों की एक ख़ासियत है, जहां कोडोमैन और रेंज समान हैं। इस प्रकार, फ़ंक्शन में मूल्यांकन किए गए तत्व आगमन सेट बनाते हैं।

समारोह कंडीशनिंग

कभी-कभी एक फ़ंक्शन जो विशेषण नहीं होता है, उसे कुछ शर्तों के अधीन किया जा सकता है। ये नई स्थितियां इसे एक विशेष कार्य कर सकती हैं ।

फ़ंक्शन के डोमेन और कोडोमैन में सभी प्रकार के संशोधन मान्य हैं, जहां उद्देश्य संबंधित रिश्ते में surjectivity गुणों को पूरा करना है।

उदाहरण: हल किए गए अभ्यास

विशेषण की शर्तों को पूरा करने के लिए, विभिन्न कंडीशनिंग तकनीकों को लागू किया जाना चाहिए, ताकि यह सुनिश्चित हो सके कि कोडोमैन का प्रत्येक तत्व फ़ंक्शन की छवियों के सेट के भीतर है।

अभ्यास 1

• फ़ंक्शन F: R → R को लाइन F (x) = 8 - x द्वारा परिभाषित किया जाए

ए:

स्रोत: लेखक

इस मामले में, फ़ंक्शन एक निरंतर रेखा का वर्णन करता है, जिसमें उसके डोमेन और सीमा दोनों में सभी वास्तविक संख्याएं शामिल हैं। चूंकि समारोह की सीमा आर _च codomain के बराबर है आर यह है कि यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है:

F: R → R को लाइन द्वारा परिभाषित किया गया F (x) = 8 - x एक विशेषण फ़ंक्शन है।

यह सभी रैखिक कार्यों (कार्य जिनके चर की उच्चतम डिग्री एक है) पर लागू होता है।

व्यायाम २

• फ़ंक्शन का अध्ययन करें : F (x) = x ² द्वारा परिभाषित R → R: यदि यह एक विशेषण फ़ंक्शन है, तो परिभाषित करें । यदि नहीं, तो इसे सुरक्षित बनाने के लिए आवश्यक शर्तों को दिखाएं।

स्रोत: लेखक

ध्यान में रखने वाली पहली बात एफ का कोडोमैन है, जो वास्तविक संख्या आर से बना है । फ़ंक्शन के लिए नकारात्मक मूल्यों को उत्पन्न करने का कोई तरीका नहीं है, जो संभावित छवियों से नकारात्मक वास्तविक को बाहर करता है।

अंतराल के लिए कोडोमैन कंडीशनिंग। एफ के माध्यम से असंबंधित कोडोमैन के तत्वों को छोड़ने से बचा जाता है ।

छवियों को स्वतंत्र चर के तत्वों के जोड़े के लिए दोहराया जाता है, जैसे कि x = 1 और x = - 1. लेकिन यह केवल इस अध्ययन के लिए समस्या नहीं होने के कारण फ़ंक्शन की इंजेक्शन को प्रभावित करता है ।

इस तरह यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि:

एफ: आर → । इस अंतराल को फ़ंक्शन की अधिशेषता प्राप्त करने के लिए कोडोमैन की शर्त रखनी चाहिए।

एफ: आर → एफ (एक्स) द्वारा परिभाषित = सेन (एक्स) यह एक विशेषण फ़ंक्शन है

एफ: आर → एफ (एक्स) = कॉस (एक्स) द्वारा परिभाषित यह एक विशेषण फ़ंक्शन है

व्यायाम ४

• समारोह का अध्ययन करें

एफ:).push ({});

स्रोत: लेखक

फ़ंक्शन F (x) = ± Fx की विशिष्टता है कि यह "x" के प्रत्येक मूल्य पर 2 आश्रित चर को परिभाषित करता है। यही है, सीमा को डोमेन में बनाए गए प्रत्येक के लिए 2 तत्व मिलते हैं। एक सकारात्मक और नकारात्मक मूल्य को "x" के प्रत्येक मूल्य के लिए सत्यापित किया जाना चाहिए।

जब शुरुआती सेट का अवलोकन करते हैं, तो यह ध्यान दिया जाता है कि डोमेन पहले ही प्रतिबंधित हो चुका है, एक समान रूट के भीतर एक ऋणात्मक संख्या का मूल्यांकन करते समय उत्पन्न होने वाली अनिश्चितताओं से बचने के लिए।

फ़ंक्शन की सीमा की जांच करते समय, यह ध्यान दिया जाता है कि कोडोमैन का प्रत्येक मूल्य सीमा से संबंधित है।

इस तरह यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि:

एफ: [0, → ) → एफ (एक्स) द्वारा परिभाषित आर = is isx यह एक विशेषण फ़ंक्शन है

व्यायाम ४

• फ़ंक्शन का अध्ययन करें F (x) = Ln x निरूपित करें यदि यह एक विशेषण फ़ंक्शन है । स्थिति और प्रस्थान सेट करने के लिए फ़ंक्शन को surjectivity मानदंड में फिट करता है।

स्रोत: लेखक

जैसा कि ग्राफ में दिखाया गया है, फ़ंक्शन F (x) = Ln x को "x" के मान के लिए परिभाषित किया गया है जो शून्य से अधिक है। जबकि "और" या चित्रों का मान किसी भी वास्तविक मूल्य को ले सकता है।

इस तरह हम के डोमेन को प्रतिबंधित कर सकते एफ (x) = (0 अंतराल को ∞)

जब तक फ़ंक्शन की सीमा को वास्तविक संख्याओं के सेट के रूप में रखा जा सकता है आर।

इसे देखते हुए, यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि:

एफ: [0, ∞) → एफ (एक्स) द्वारा परिभाषित आर = एलएन एक्स यह एक विशेषण फ़ंक्शन है

5 व्यायाम करें

• निरपेक्ष मान फ़ंक्शन F (x) = - x - का अध्ययन करें और surjectivity मानदंड को पूरा करने वाले आगमन और प्रस्थान सेट को निर्दिष्ट करें।

स्रोत: लेखक

फ़ंक्शन का डोमेन सभी वास्तविक संख्याओं के लिए पूरा हो गया है । इस तरह से कोडन में केवल कंडीशनिंग को पूरा किया जाना चाहिए, यह ध्यान में रखते हुए कि पूर्ण मूल्य फ़ंक्शन केवल सकारात्मक मान लेता है।

हम उसी के रैंक के बराबर फ़ंक्शन के कोडोमैन को स्थापित करने के लिए आगे बढ़ते हैं

[०, ∞)

अब यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि:

F: [0, ∞) → R को F (x) = - x द्वारा परिभाषित किया गया है - यह एक विशेषण फ़ंक्शन है

प्रस्तावित अभ्यास

1. जाँच करें कि क्या निम्नलिखित कार्य विशेषण हैं:

• F: (0, ∞) → R परिभाषित एफ (x) = लॉग (x + 1)
• एफ: आर → आर एफ (एक्स) = एक्स ³ द्वारा परिभाषित
• एफ: आर → [1, ∞) एफ (एक्स) = एक्स ² + 1 द्वारा परिभाषित
• [0, )) → R परिभाषित एफ (x) = लॉग (2x + 3)
• F: R → R को F (x) = Sec x द्वारा परिभाषित किया गया है
• एफ: आर ​​- {0} → आर एफ (एक्स) = 1 / एक्स द्वारा परिभाषित

संदर्भ

1. लॉजिक और क्रिटिकल थिंकिंग का परिचय। मेरिल्ले एच। सैल्मन। पिट्सबर्ग विश्वविद्यालय
2. गणितीय विश्लेषण में समस्याएं। पिओटर ब्रेलर, अल्फ्रेड विटकोव्स्की। व्रोकला विश्वविद्यालय। पोलैंड।
3. सार विश्लेषण के तत्व। मिचेल ओ'सर्कॉइड पीएचडी। गणित विभाग। यूनिवर्सिटी कॉलेज डबलिन, बेल्डफील्ड, डब्लिंड 4
4. लॉजिक विज्ञान के तर्क और पद्धति का परिचय। अल्फ्रेड टार्स्की, न्यूयॉर्क ऑक्सफोर्ड। ऑक्सफोर्ड यूनिवरसिटि प्रेस।
5. गणितीय विश्लेषण के सिद्धांत। एनरिक लिनेस एस्कर्डो। संपादकीय रिवर्ट एस ए 1991। बार्सिलोना स्पेन।