पारलौकिक कार्य: प्रकार, परिभाषा, गुण, उदाहरण - गणित - 2025

प्राथमिक ट्रान्सेंडैंटल कार्यों घातांकी, लघुगणकीय, त्रिकोणमितीय, त्रिकोणमितीय कार्यों, अतिशयोक्तिपूर्ण उलटा और अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों उलटा कर रहे हैं। यही है, वे वे हैं जिन्हें एक बहुपद के माध्यम से व्यक्त नहीं किया जा सकता है, बहुपद के एक भाग या बहुपद की जड़ें।

गैर-प्राथमिक पारगमन कार्यों को विशेष कार्यों के रूप में भी जाना जाता है और उनमें से त्रुटि फ़ंक्शन का नाम दिया जा सकता है। बीजगणितीय कार्य (बहुपद, बहुपद और बहुपद की जड़ें) के साथ मिलकर प्रारंभिक पारमार्थिक कार्यों का गठन होता है जो गणित में प्राथमिक कार्यों के रूप में जाने जाते हैं।

ट्रान्सेंडेंट फ़ंक्शंस उन पर भी विचार किया जाता है, जो ट्रान्सेंडेंट फ़ंक्शंस के बीच या ट्रान्सेंडेंट और बीजीय फ़ंक्शंस के बीच के ऑपरेशंस से होते हैं। ये ऑपरेशन हैं: कार्यों का योग और अंतर, उत्पाद और कार्यों का भागफल, साथ ही दो या अधिक कार्यों की संरचना।

परिभाषा और गुण

घातांक प्रकार्य

यह फॉर्म का वास्तविक स्वतंत्र चर का एक वास्तविक कार्य है:

f (x) = a ^ x = a ^x

जहां एक निश्चित सकारात्मक वास्तविक संख्या (a> 0) को आधार कहा जाता है। Circumflex या superscript का उपयोग potentiating ऑपरेशन को दर्शाने के लिए किया जाता है।

मान लीजिए कि a = 2 तब फ़ंक्शन इस तरह दिखता है:

f (x) = 2 ^ x = 2 ^x

जिसका मूल्यांकन स्वतंत्र चर x के कई मूल्यों के लिए किया जाएगा:

नीचे एक ग्राफ है जहां बेस ई के कई मूल्यों के लिए घातांक फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व किया जाता है, जिसमें बेस ई (नेपर नंबर ई ≃ 2072) शामिल है। आधार ई इतना महत्वपूर्ण है कि आम तौर पर एक एक्सपोनेंशियल फ़ंक्शन के बारे में बोलते हुए हम ई ^ एक्स के बारे में सोचते हैं, जिसे एक्स (एक्स) भी दर्शाया जाता है।

आधार के विभिन्न मूल्यों के लिए चित्रा 1. घातीय कार्य ए ^ एक्स। (खुद का विस्तार)

घातीय कार्य के गुण

आकृति 1 से यह देखा जा सकता है कि घातीय कार्यों का डोमेन वास्तविक संख्या (डोम f = R) है और सीमा या पथ धनात्मक वास्तविक (Ran f = R ⁺) है।

दूसरी ओर, आधार a के मूल्य की परवाह किए बिना, सभी घातीय कार्य बिंदु (0, 1) और बिंदु (1, a) से होकर गुजरते हैं।

जब आधार a> 1, तब फ़ंक्शन बढ़ रहा है और जब 0 <a <1 फ़ंक्शन कम हो रहा है।

Y = a ^ x और y = (1 / a) ^ x के वक्र Y अक्ष के बारे में सममित हैं।

केस ए = 1 के अपवाद के साथ, घातीय फ़ंक्शन इंजेक्टिव है, अर्थात, छवि के प्रत्येक मूल्य से एक और केवल एक शुरुआती मूल्य से मेल खाती है।

लघुगणक समारोह

यह एक संख्या के लघुगणक की परिभाषा के आधार पर वास्तविक स्वतंत्र चर का एक वास्तविक कार्य है। संख्या x पर आधारित लघुगणक वह संख्या y है जिसमें तर्क x प्राप्त करने के लिए आधार को उठाया जाना चाहिए:

log _a (x) = y = a ^ y = x

यही है, पर आधारित लघुगणक समारोह घातीय फ़ंक्शन के व्युत्क्रम फ़ंक्शन पर आधारित है।

उदाहरण के लिए:

लॉग ₂ 2 = 0, चूंकि 2 ^ 0 = 1

एक और मामला, ₂ 4 = 2 लॉग करें, क्योंकि 2 ^ 2 = 4

2 का मूल लघुगणक लॉग ₂ =2 = because है, क्योंकि 2 ^ ar =.2

लॉग ₂₎ = -2, 2 ^ (- 2) = -2 के बाद से

नीचे विभिन्न आधारों में लघुगणक समारोह का एक ग्राफ है।

चित्रा 2. आधार के विभिन्न मूल्यों के लिए घातीय कार्य। (खुद का विस्तार)

लघुगणक समारोह के गुण

लघुगणक फ़ंक्शन y (x) = log a (x) का डोमेन सकारात्मक वास्तविक संख्या R + हैं । यात्रा रेंज या वास्तविक संख्या आर हैं ।

आधार के बावजूद, लघुगणक फ़ंक्शन हमेशा बिंदु (1,0) से गुजरता है और बिंदु (ए, 1) उस फ़ंक्शन के ग्राफ़ से संबंधित होता है।

इस मामले में कि आधार एक से अधिक है (a> 1) लॉगरिदम फ़ंक्शन बढ़ रहा है। लेकिन अगर (0 <a <1) तो यह घटता हुआ कार्य है।

साइन, कोसाइन और टैंगेंट फ़ंक्शंस

साइन फ़ंक्शन एक वास्तविक संख्या और प्रत्येक x मान प्रदान करता है, जहां एक्स रेडियंस में कोण के माप का प्रतिनिधित्व करता है। कोण के सेन (x) का मान प्राप्त करने के लिए, कोण को इकाई चक्र में दर्शाया गया है और ऊर्ध्वाधर अक्ष पर उक्त कोण का प्रक्षेपण उस कोण के अनुरूप साइन है।

त्रिकोणमितीय चक्र और साइन को विभिन्न कोणीय मानों X1, X2, X3 और X4 के लिए नीचे दिखाया गया है (चित्र 3 में)।

चित्रा 3. त्रिकोणमितीय चक्र और विभिन्न कोणों की साइन। (खुद का विस्तार)

इस तरह से परिभाषित किया गया है, फ़ंक्शन सेन (x) का अधिकतम मान 1 हो सकता है, जो तब होता है जब x = π / 2 + 2π n, जहां n एक पूर्णांक (0, ± 1,, 2) है। फ़ंक्शन सेन (x) का न्यूनतम मान तब हो सकता है जब x = 3 2/2 + 2 that n हो।

कोसाइन फ़ंक्शन y = कॉस (x) को इसी तरह से परिभाषित किया गया है, लेकिन कोणीय स्थिति पी 1, पी 2, आदि का प्रक्षेपण त्रिकोणमितीय सर्कल के क्षैतिज अक्ष पर किया जाता है।

दूसरी ओर, फ़ंक्शन y = टैन (x) साइन फ़ंक्शन और कोज़ाइन फ़ंक्शन के बीच भागफल है।

नीचे ट्रान्ससेन्ट फ़ंक्शन सेन (x), कॉस (x) और टैन (x) का एक ग्राफ है

चित्रा 4. पारगमन कार्यों, साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा का ग्राफ। (खुद का विस्तार)

व्युत्पन्न और अभिन्न

घातीय कार्य की व्युत्पत्ति

एक्सपोनेंशियल फंक्शन y = a ^ x का व्युत्पन्न y 'फंक्शन ए ^ x है जिसे आधार के प्राकृतिक लघुगणक द्वारा गुणा किया जाता है a:

y '= (a ^ x)' = a ^ x ln a

बेस ई के विशेष मामले में, घातीय फ़ंक्शन का व्युत्पन्न घातीय फ़ंक्शन ही होता है।

घातीय कार्य का अभिन्न अंग

^ एक्स का अनिश्चितकालीन अभिन्न अंग ही आधार के प्राकृतिक लघुगणक द्वारा विभाजित कार्य है।

बेस ई के विशेष मामले में, घातीय फ़ंक्शन का अभिन्न अंग घातांक फ़ंक्शन ही है।

व्युत्पन्न कार्यों के डेरिवेटिव और अभिन्न की तालिका

नीचे मुख्य अनुदैर्ध्य कार्यों की एक सारांश तालिका है, उनका व्युत्पन्न और अनिश्चितकालीन इंटीग्रल (प्रतिसादात्मक):

कुछ पारगमन कार्यों के लिए डेरिवेटिव और अनिश्चितकालीन इंटीग्रल्स की तालिका। (खुद का विस्तार)

उदाहरण

उदाहरण 1

फ़ंक्शन g (x) = x ^ 3 की संरचना के फलस्वरूप फ़ंक्शन g (x) = cos (x) के साथ खोजें:

(कोहरा) (x) = f (g (x)) = cos ³ (x)

इसका व्युत्पन्न और इसका अनिश्चित अभिन्न अंग है:

उदाहरण 2

फ़ंक्शन जी के साथ फ़ंक्शन जी की संरचना का पता लगाएं, जहां जी और एफ पिछले उदाहरण में परिभाषित कार्य हैं:

(gof) (x) = g (f (x)) = cos (x ³)

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि कार्यों की संरचना एक कम्यूटेटिव ऑपरेशन नहीं है।

इस कार्य के लिए व्युत्पन्न और अनिश्चित अभिन्न क्रमशः हैं:

अभिन्न को इंगित किया गया था क्योंकि परिणाम को प्राथमिक कार्यों के संयोजन के रूप में लिखना संभव नहीं है।

संदर्भ

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