एक बहुपद की डिग्री: इसे कैसे निर्धारित किया जाए, उदाहरण और अभ्यास - गणित - 2025

एक चर में एक बहुपद की डिग्री उस शब्द द्वारा दी जाती है जिसमें सबसे बड़ा घातांक होता है, और यदि बहुपद के दो या अधिक चर होते हैं, तो डिग्री प्रत्येक शब्द के घातांक के योग से निर्धारित होती है, अधिक से अधिक डिग्री बहुपद का।

आइए देखें कि व्यावहारिक तरीके से बहुपद की डिग्री कैसे निर्धारित करें।

चित्र 1. ऊर्जा E के लिए आइंस्टीन का प्रसिद्ध समीकरण चर द्रव्यमान के लिए निरपेक्ष डिग्री 1 का एक मोनोमियल है, जिसे m द्वारा निरूपित किया गया है, क्योंकि प्रकाश c की गति को स्थिर माना जाता है। स्रोत: पिक्सल्स

मान लीजिए कि बहुपद P (x) = -5x + 8x ³ + 7 - 4x ^{2 है} । यह बहुपद एक चर है, इस मामले में यह चर x है। इस बहुपद में कई शब्द हैं, जो निम्नलिखित हैं:

और अब एक्सपोनेंट क्या है? उत्तर 3. इसलिए पी (एक्स) डिग्री 3 का एक बहुपद है।

यदि प्रश्न में बहुपद एक से अधिक चर है, तो डिग्री हो सकती है:

-Absolute

-एक चर के संबंध में

निरपेक्ष डिग्री को शुरुआत में समझाया गया है: प्रत्येक शब्द के घातांक को जोड़ना और सबसे बड़ा चयन करना।

इसके बजाय, किसी एक चर या अक्षर के संबंध में बहुपद की डिग्री उस घातांक का सबसे बड़ा मूल्य है जो पत्र ने कहा है। निम्न अनुभागों में उदाहरणों और हल किए गए अभ्यासों के साथ बिंदु स्पष्ट हो जाएगा।

एक बहुपद की डिग्री के उदाहरण

बहुपद को डिग्री द्वारा वर्गीकृत किया जा सकता है, और पहली डिग्री, दूसरी डिग्री, तीसरी डिग्री और इतने पर हो सकता है। चित्रा 1 में उदाहरण के लिए, ऊर्जा द्रव्यमान के लिए एक पहली डिग्री मोनोमियल है।

यह भी ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि बहुपद के पदों की संख्या डिग्री 1 के बराबर है। इस प्रकार:

-फर्स्ट डिग्री पॉलीओनियम्स के 2 शब्द हैं: एक ₁ एक्स + _ओ

-दूसरी डिग्री बहुपद में 3 पद हैं: एक ₂ x ² + ₁ x + a _o

-एक तीसरी डिग्री बहुपद में 4 पद हैं: एक ₃ x ³ + ₂ x ² + ₁ x + _या a

और इसी तरह। सावधान पाठक ने देखा होगा कि पिछले उदाहरणों में बहुपदों को घटते हुए रूप में लिखा गया है, अर्थात इस शब्द को सबसे बड़ी डिग्री के साथ रखा गया है।

निम्न तालिका विभिन्न बहुपद दिखाती है, दोनों एक और कई चर और उनके संबंधित पूर्ण डिग्री:

तालिका 1. बहुपद और उनकी डिग्री के उदाहरण

बहुपद	डिग्री
3x 4 + 5x 3 -2x + 3	4
7x 3 -2x 2 + 3x-6	3
6	0
एक्स 1	एक
x 5 -bx 4 + abx 3 + ab 3 x 2	6
3x 3 और 5 + 5x 2 और 4 - 7xy 2 + 6	8

पिछले दो बहुपद एक से अधिक चर हैं। इनमें से उच्चतम निरपेक्ष डिग्री वाले शब्द को बोल्ड में हाइलाइट किया गया है, ताकि पाठक जल्दी से डिग्री की जांच कर सके। यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि जब चर में लिखित घातांक नहीं होता है, तो यह समझा जाता है कि कहा गया है कि घातांक 1 के बराबर है।

उदाहरण के लिए, पर प्रकाश डाला अवधि में अब ³ एक्स ² ए, बी और एक्स: वहाँ तीन चर, अर्थात् कर रहे हैं। इस शब्द में, 1 को उठाया जाता है, जो है:

a = ^१

इसलिए ab ³ x ² = a ¹ b ³ x ²

चूँकि b का घातांक 3 है और x का मान 2 है, यह तुरंत इस प्रकार है कि इस पद की डिग्री है:

1 + 3 + 2 = 6

वाई बहुपद की पूर्ण डिग्री है, क्योंकि किसी अन्य शब्द की उच्च डिग्री नहीं है।

बहुपद के साथ काम करने की प्रक्रिया

बहुपद के साथ काम करते समय, इसकी डिग्री पर ध्यान देना महत्वपूर्ण है, क्योंकि पहले और किसी भी ऑपरेशन को करने से पहले, इन चरणों का पालन करना सुविधाजनक है, जिसमें डिग्री बहुत महत्वपूर्ण जानकारी प्रदान करती है:

-प्रदेश की बहुपद को घटती दिशा में आगे बढ़ाएं। इस प्रकार, उच्चतम डिग्री वाला शब्द बाईं ओर है और सबसे कम डिग्री वाला शब्द दाईं ओर है।

शब्दों की तरह, एक प्रक्रिया है कि एक ही चर और अभिव्यक्ति में पाया डिग्री की सभी शर्तों को जोड़ने में शामिल है।

-अगर सटीक होने पर, बहुपद पूर्ण हो जाते हैं, तो ऐसे शब्दों को सम्मिलित किया जाता है जिनके गुणांक 0 होते हैं, यदि किसी घातांक के साथ लापता शब्द हैं।

एक बहुपद का आदेश दें, कम करें और पूरा करें

बहुपद पी (x) = 6x ² - 5x ⁴ - 2x + 3x + 7 + 2x ⁵ - 3x ³ + x ⁷ -12 को देखते हुए, इसे अवरोही क्रम में क्रमबद्ध करने के लिए कहा जाता है, यदि कोई हो, तो शर्तों को कम करें और लापता शब्द को पूरा करें। अगर सही है।

देखने के लिए पहली बात सबसे बड़ी प्रतिपादक के साथ शब्द है, जो बहुपद की डिग्री है, जो इस प्रकार है:

x ⁷

इसलिए पी (एक्स) डिग्री 7 का है। फिर बहुपद का आदेश दिया जाता है, इस शब्द को बाईं ओर से शुरू करते हुए:

P (x) = x ⁷ + 2x ⁵ - 5x ⁴ - 3x ³ + 6x ² - 2x + 3x + 7 -12

अब जैसे शब्द कम हो गए हैं, जो निम्नलिखित हैं: - एक तरफ 2x और 3x। और दूसरे पर 7 और -12। उन्हें कम करने के लिए, गुणांक को बीजगणितीय रूप से जोड़ा जाता है और चर को अपरिवर्तित छोड़ दिया जाता है (यदि गुणांक के बगल में चर दिखाई नहीं देता है, तो याद रखें कि x ⁰ = 1):

-2x + 3x = x

7 -12 = -5

इन परिणामों को P (x) में बदलें:

P (x) = x ⁷ + 2x ⁵ - 5x ⁴ - 3x ³ + 6x ² + x -5

और अंत में बहुपद को देखने के लिए जांच की जाती है कि क्या कोई घातांक गायब है और वास्तव में, एक शब्द जिसका प्रतिपादक 6 गायब है, इसलिए इसे शून्य के साथ पूरा किया जाता है:

P (x) = x ⁷ + 0x ⁶ + 2x ⁵ - 5x ⁴ - 3x ³ + 6x ² + x - 5

अब यह देखा गया है कि बहुपद को 8 शब्दों के साथ छोड़ दिया गया था, जैसा कि पहले कहा गया था, शब्दों की संख्या डिग्री + 1 के बराबर है।

इसके अलावा और घटाव में एक बहुपद की डिग्री का महत्व

बहुपद के साथ आप जोड़ और घटाव संचालन कर सकते हैं, जिसमें केवल उन्हीं शब्दों को जोड़ा या घटाया जाता है, जो समान चर और समान डिग्री वाले होते हैं। यदि कोई शर्तें नहीं हैं, तो जोड़ या घटाव केवल इंगित किया जाता है।

एक बार जोड़ या घटाव बाहर ले जाने के बाद, उत्तरार्द्ध विपरीत का योग होता है, जिसके परिणामस्वरूप बहुपद की डिग्री हमेशा उच्चतम डिग्री को जोड़कर बहुपद के बराबर या उससे कम होती है।

हल किया हुआ व्यायाम

- व्यायाम 1 हल

निम्नलिखित राशि का पता लगाएं और इसकी पूर्ण डिग्री निर्धारित करें:

a ³ - 8ax ² + x ³ + 5a ² x - 6ax ² - x ³ + 3a ³ - 5a ² x - x ³ + a ³ + 14ax ² - x ³

उपाय

यह दो चर के साथ एक बहुपद है, इसलिए यह समान शब्दों को कम करने के लिए सुविधाजनक है:

a ³ - 8ax ² + x ³ + 5a ² x - 6ax ² - x ³ + 3a ³ - 5a ² x - x ³ + a ³ + 14ax ² - x ³ =

= एक ³ + 3 ए ³ + एक ³ - 8ax ² - 6ax ² + 14ax ² + 5a ² x - 5a ² x + x ³ - x ³ - x ³ - x ³ =

= 5 ए ³ - 2x ³

दोनों शब्द प्रत्येक चर में डिग्री 3 के हैं। इसलिए बहुपद की पूर्ण डिग्री 3 है।

- व्यायाम 2 हल

एक बहुपद के रूप में निम्नलिखित विमान ज्यामितीय आकृति के क्षेत्र को व्यक्त करें (आंकड़ा 2 बाएं)। परिणामी बहुपद की डिग्री क्या है?

चित्रा 2. बाईं ओर, हल किए गए व्यायाम 2 के लिए आंकड़ा और दाईं ओर, एक ही आंकड़ा तीन क्षेत्रों में विघटित होता है जिनकी अभिव्यक्ति ज्ञात है। स्रोत: एफ। ज़पाटा

उपाय

चूंकि यह एक क्षेत्र है, परिणामी बहुपद वेरिएबल x में 2 डिग्री का होना चाहिए। क्षेत्र के लिए एक उपयुक्त अभिव्यक्ति निर्धारित करने के लिए, आंकड़ा ज्ञात क्षेत्रों में विघटित हो जाता है:

आयत और त्रिभुज का क्षेत्रफल क्रमशः है: बेस x ऊँचाई और बेस x ऊँचाई / 2

ए ₁ = एक्स। 3x = 3x ²; एक ₂ = 5। x = 5x; ए _३ = ५। (2x / 2) = 5x

नोट: त्रिभुज का आधार 3x - x = 2x है और इसकी ऊँचाई 5 है।

अब प्राप्त तीन अभिव्यक्तियों को जोड़ा जाता है, इसके साथ हमारे पास x के एक फ़ंक्शन के रूप में आंकड़ा का क्षेत्र है:

3x ² + 5x + 5x = 3x ² + 10x

संदर्भ

1. बाल्डोर, ए। 1974. प्राथमिक बीजगणित। सांस्कृतिक वेनेज़ोलाना एसए
2. जिमेनेज, आर। 2008. बीजगणित। शागिर्द कक्ष।
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5. ज़िल, डी। 1984. बीजगणित और त्रिकोणमिति। मैक ग्रे हिल।