हेप्टैडैगन: गुण, विकर्ण, परिधि, क्षेत्र - गणित

Heptadecagon 17 पक्षों और 17 कोने के साथ एक नियमित बहुभुज है। इसका निर्माण यूक्लिडियन शैली में किया जा सकता है, अर्थात, केवल शासक और कम्पास का उपयोग करके। यह महान गणितीय प्रतिभाशाली कार्ल फ्रेडरिक गॉस (1777-1855) थे, जो मुश्किल से 18 साल के थे, जिन्होंने 1796 में इसके निर्माण की प्रक्रिया को पाया।

जाहिरा तौर पर, गॉस हमेशा इस ज्यामितीय आकृति के लिए बहुत इच्छुक थे, इस हद तक कि जिस दिन से उन्होंने इसके निर्माण की खोज की, उन्होंने एक गणितज्ञ होने का फैसला किया। यह भी कहा जाता है कि वह चाहता था कि हेप्टाडेकोगन को उसकी समाधि पर उकेरा जाए।

चित्र 1. हेपेटैडागन एक नियमित बहुभुज है जिसमें 17 भुजाएँ और 17 कोने हैं। स्रोत: एफ। ज़पाटा

गॉस ने यह निर्धारित करने का सूत्र भी पाया कि नियमित बहुभुजों के शासक और कम्पास के साथ निर्मित होने की संभावना है, क्योंकि कुछ में सटीक यूक्लिडियन निर्माण नहीं है।

हेपेटैडागन की विशेषताएं

किसी भी बहुभुज की तरह इसकी विशेषताओं के लिए, इसके आंतरिक कोणों का योग महत्वपूर्ण है। N पक्षों के साथ एक नियमित बहुभुज में, योग द्वारा दिया जाता है:

रेडियंस में व्यक्त की गई यह राशि इस प्रकार है:

उपर्युक्त सूत्रों से यह आसानी से ज्ञात किया जा सकता है कि हेप्टाडागॉन के प्रत्येक आंतरिक कोण में एक सटीक माप α है:

यह निम्नानुसार है कि आंतरिक कोण लगभग है:

विकर्ण और परिधि

विकर्ण और परिधि अन्य महत्वपूर्ण पहलू हैं। किसी भी बहुभुज में विकर्णों की संख्या है:

D = n (n - 3) / 2 और हेपेटैडागॉन के मामले में, n = 17 के रूप में, हमारे पास तब D = 119 विकर्ण हैं।

दूसरी ओर, यदि हेपेटैडागन के प्रत्येक पक्ष की लंबाई ज्ञात है, तो नियमित हेप्टाडैगन की परिधि केवल 17 बार उस लंबाई को जोड़कर पाई जाती है, या जो प्रत्येक पक्ष की लंबाई के 17 गुना के बराबर है "

पी = 17 डी

हेपेटैडागन की परिधि

कभी-कभी केवल हेपेटैडागोन का त्रिज्या आर ज्ञात होता है, इसलिए इस मामले के लिए एक सूत्र विकसित करना आवश्यक है।

इसके लिए, एपोटेम की अवधारणा शुरू की गई है। एपोटेम वह खंड है जो नियमित बहुभुज के केंद्र से एक तरफ के मध्य बिंदु तक जाता है। एक पक्ष के सापेक्ष प्रेरित उस पक्ष के लिए लंबवत है (चित्र 2 देखें)।

चित्रा 2. त्रिज्या आर और उसके एपोटेम के साथ एक नियमित बहुभुज के हिस्सों को दिखाया गया है। (खुद का विस्तार)

इसके अलावा, एपोटेम कोण के द्विभाजक है जिसमें केंद्रीय शीर्ष और पक्षों पर बहुभुज के लगातार दो कोने हैं, यह त्रिज्या आर और साइड डी के बीच संबंध खोजने की अनुमति देता है।

यदि केंद्रीय कोण DOE को E कहा जाता है और इस बात को ध्यान में रखते हुए कि Apothem OJ एक द्विभाजक है, हमारे पास EJ = d / 2 = r Sen (β / 2) है, जिसमें से एक बहुभुज के किनारे की लंबाई d को खोजने के लिए हमारा संबंध है इसका त्रिज्या r ज्ञात है और इसका केंद्रीय कोण and:

d = 2 r सेन (2/2)

हेपेटैडागॉन º = 360 17/17 के मामले में हमारे पास है:

d = 2 r सेन (180º / 17) 75 0.3675 r

अंत में, हेपेटैडागन की परिधि का सूत्र प्राप्त किया जाता है, इसकी त्रिज्या ज्ञात की जाती है:

पी = 34 आर सेन (180º / 17) r 6.2475 आर

एक हेपेटैडैगन की परिधि उस परिधि की परिधि के करीब है जो इसे घेरे हुए है, लेकिन इसका मान छोटा है, अर्थात परिधि वाले वृत्त की परिधि Pcir = 2π r 8 6.2832 r है।

क्षेत्र

हेपटैडैगन के क्षेत्र को निर्धारित करने के लिए हम चित्रा 2 का उल्लेख करेंगे, जो पक्षों के साथ एक नियमित बहुभुज के एपोटेम और एनोटेम को दर्शाता है। इस आकृति में त्रिभुज EOD में आधार d (बहुभुज की ओर) के बराबर का क्षेत्रफल होता है, ऊंचाई 2 (बहुभुज का एक भाग) 2 से विभाजित होती है:

ईओडी क्षेत्र = (डीएक्सए) / 2

इसलिए, हेपेटैडागॉन के एपोटेम और उसी के साइड डी को जानना, इसका क्षेत्र है:

हेपतडागन क्षेत्र = (17/2) (dxa)

क्षेत्र को दिया गया पक्ष

अपने सत्रह भुजाओं की लंबाई जानने वाले हेपेटैडागॉन के क्षेत्र के लिए एक सूत्र प्राप्त करने के लिए, एपोटेम की लंबाई और साइड डी के बीच संबंध प्राप्त करना आवश्यक है।

आकृति 2 के संदर्भ में, निम्नलिखित त्रिकोणमितीय संबंध प्राप्त होता है:

टैन (J / 2) = EJ / OJ = (d / 2) / a, जहां। केंद्रीय कोण है। तो एपोटेम की गणना की जा सकती है यदि बहुभुज के किनारे की लंबाई d और केंद्रीय कोण: ज्ञात हो:

a = (d / 2) Cotan (2/2)

यदि इस अभिव्यक्ति को अब एपोटेम के लिए प्रतिस्थापित किया जाता है, तो पिछले अनुभाग में प्राप्त हेपटैडैगन के क्षेत्र के लिए सूत्र में, हमारे पास है:

हेपतडागन क्षेत्र = (17/4) (डी ²) कोटान (ec / 2)

हेप्टाडेकोन के लिए Being = 360β / 17 होने के नाते, इसलिए हमारे पास आखिरकार वांछित फॉर्मूला है:

हेपतडागन क्षेत्र = (17/4) (डी ²) कोटान (180 17/17)

क्षेत्र को त्रिज्या दिया

पिछले वर्गों में एक संबंध एक नियमित बहुभुज के पक्ष d और उसके त्रिज्या r के बीच पाया गया था, यह संबंध निम्नलिखित है:

d = 2 r सेन (2/2)

डी के लिए यह अभिव्यक्ति क्षेत्र के लिए पिछले अनुभाग में प्राप्त अभिव्यक्ति में डाली गई है। यदि प्रासंगिक प्रतिस्थापन और सरलीकरण किए जाते हैं, तो वह सूत्र जो हेप्टाडागोन के क्षेत्र की गणना करने की अनुमति देता है:

हेपतडागन क्षेत्र = (१2/२) (आर ^२) सेन (=) = (१2/२) (आर ^२) सेन (३६०) / १ area)

क्षेत्र के लिए एक अनुमानित अभिव्यक्ति है:

हेपतडागन क्षेत्र = 3.0706 (आर ²)

जैसा कि उम्मीद की जा रही थी, यह क्षेत्र हेप्टाडेकन ए _सर्क = ≈ r ² π 3.1416 r ² के सर्कल के क्षेत्र से थोड़ा छोटा है । सटीक होने के लिए, यह अपने परिचालित सर्कल से 2% कम है।

उदाहरण

उदाहरण 1

प्रश्न का उत्तर देने के लिए यह आवश्यक है कि पक्ष और नियमित n- पक्षीय बहुभुज की त्रिज्या के बीच के संबंध को याद रखें:

d = 2 r सेन (180º / n)

हेपेटैडैगन एन = 17 के लिए, ताकि डी = 0.3675 आर, यानी हेप्टैडागोन की त्रिज्या आर = 2 सेमी / 0.3675 = 5.4423 सेमी या

व्यास में 10.8844 सेमी।

2-सेमी की तरफ हेप्टाडैगन की परिधि P = 17 * 2 cm = 34 cm है।

उदाहरण 2

हमें पिछले अनुभाग में दिखाए गए सूत्र का उल्लेख करना चाहिए, जो हमें एक हेप्टैडागोन के क्षेत्र को खोजने की अनुमति देता है, जब इसकी लंबाई घ होती है:

हेपटैडागोन क्षेत्र = (17/4) (डी ²) / टैन (180 17/17)

पिछले सूत्र में d = 2 सेमी प्रतिस्थापित करके, हम प्राप्त करते हैं:

क्षेत्र = 90.94 सेमी

संदर्भ

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