होमोटसी: गुण, प्रकार और उदाहरण - गणित - 2025

फैलाव विमान है, जो एक निश्चित बिंदु कहा जाता सेंटर (ओ) से, दूरी एक आम पहलू से गुणा किया जाता है में एक ज्यामितीय परिवर्तन है। इस तरह, प्रत्येक बिंदु P परिवर्तन के दूसरे बिंदु P 'उत्पाद से मेल खाता है, और ये बिंदु O के साथ संरेखित होते हैं।

तो, होमोसेसी दो ज्यामितीय आंकड़ों के बीच एक पत्राचार है, जहां तब्दील बिंदुओं को होमोटेटिक कहा जाता है, और ये एक निश्चित बिंदु के साथ और एक दूसरे के समानांतर खंडों के साथ गठबंधन किए जाते हैं।

Homothecy

होमोथेसी एक परिवर्तन है जिसमें एक अनुरूप छवि नहीं होती है, क्योंकि एक आकृति से मूल आकृति की तुलना में अधिक या कम आकार के एक या अधिक आंकड़े प्राप्त किए जाएंगे; कहने का तात्पर्य यह है कि, होमोसेक्सुअल एक बहुभुज को दूसरे समान में बदल देता है।

समरूपता को पूरा करने के लिए, पॉइंट टू पॉइंट और लाइन टू लाइन को मेल करना चाहिए, ताकि होमोलॉगस पॉइंट्स के जोड़े को एक तीसरे निश्चित बिंदु के साथ जोड़ दिया जाए, जो कि होमोथेसी का केंद्र है।

इसी तरह, लाइनों के जोड़े जो उनके साथ जुड़ते हैं, उन्हें समानांतर होना चाहिए। इस तरह के खंडों के बीच संबंध एक निरंतरता है जिसे होमोसेसी अनुपात (के) कहा जाता है; इस तरह से कि होमोसेक्सुअलिटी के रूप में परिभाषित किया जा सकता है

इस प्रकार के परिवर्तन को अंजाम देने के लिए, हम एक मनमाना बिंदु चुनकर शुरू करते हैं, जो समरूपता का केंद्र होगा।

इस बिंदु से, रेखा खंड को आकृति के प्रत्येक शीर्ष के लिए रूपांतरित किया जाता है। जिस पैमाने पर नए आंकड़े का पुनरुत्पादन किया जाता है, वह होमोसेक्सी (के) के अनुपात से दिया जाता है।

गुण

होमोटेसी के मुख्य गुणों में से एक यह है कि, होमोटेटिक कारण (के) द्वारा, सभी होमोटेटिक आंकड़े समान हैं। अन्य बकाया संपत्तियों में निम्नलिखित हैं:

- होमोथेसिया (O) का केंद्र एकमात्र दोहरा बिंदु है और यह स्वयं में बदल जाता है; अर्थात् यह भिन्न नहीं है।

- केंद्र से गुजरने वाली रेखाएं अपने आप में बदल जाती हैं (वे दोहरी होती हैं), लेकिन इसे बनाने वाले बिंदु दोहरे नहीं होते हैं।

- केंद्र से होकर न गुजरने वाली रेखाएं समानांतर रेखाओं में बदल जाती हैं; इस तरह, होमोसेसी कोण समान रहते हैं।

- केंद्र O और अनुपात k की समरूपता से एक खंड की छवि, इसके समानांतर एक खंड है और इसकी लंबाई कई गुना है। उदाहरण के लिए, जैसा कि निम्नलिखित छवि में देखा गया है, एक सेगमेंट AB एबी होमोटेसी के परिणामस्वरूप एक और सेगमेंट A'B ', जैसे कि AB A'B' के समानांतर होगा और k होगा:

- होमोटैटिक कोण अभिन्न हैं; यह है, वे एक ही उपाय है। इसलिए, कोण की छवि एक कोण है जिसमें समान आयाम है।

दूसरी ओर, हमारे पास यह है कि समरूपता इसके अनुपात (के) के मूल्य के एक समारोह के रूप में भिन्न होती है, और निम्नलिखित निम्नलिखित हो सकते हैं:

- यदि निरंतर k = 1, तो सभी बिंदु निश्चित हो जाते हैं क्योंकि वे खुद को बदल देते हैं। इस प्रकार, होमोटेटिक आकृति मूल एक के साथ मेल खाती है और परिवर्तन को पहचान फ़ंक्शन कहा जाएगा।

- यदि k If 1, एकमात्र निश्चित बिंदु समरूप (O) का केंद्र होगा।

- यदि k = -1, समरूपता एक केंद्रीय समरूपता (C) बन जाती है; यानी सेल्सियस के आसपास एक रोटेशन पाए जाते हैं, 180 के कोण पर ^या ।

- यदि k> 1, रूपांतरित आकृति का आकार मूल के आकार से बड़ा होगा।

- यदि <<k <1, तो रूपांतरित आकृति का आकार मूल से छोटा होगा।

- अगर -1 <k <0, रूपांतरित आकृति का आकार छोटा होगा और इसे मूल के संबंध में घुमाया जाएगा।

- यदि k <-1, तो रूपांतरित आकृति का आकार बड़ा होगा और इसे मूल के संबंध में घुमाया जाएगा।

प्रकार

समरूपता को भी दो प्रकारों में वर्गीकृत किया जा सकता है, जो इसके अनुपात (k) के मूल्य पर निर्भर करता है:

प्रत्यक्ष समास

यह तब होता है जब स्थिर k> 0; यानी केंद्र के संबंध में समान बिंदुओं पर होमोटेटिक बिंदु हैं:

प्रत्यक्ष समरूपता के आंकड़ों के बीच आनुपातिकता कारक या समानता अनुपात हमेशा सकारात्मक होगा।

होमोसेकसी का उलटा

यह तब होता है जब निरंतर k <0; यही है, प्रारंभिक बिंदु और उनके समरूपता समरूपता के केंद्र के संबंध में विपरीत छोर पर स्थित हैं, लेकिन इसे संरेखित किया गया है। केंद्र दो आंकड़ों के बीच होगा:

व्युत्क्रम समरूपता आंकड़ों के बीच आनुपातिकता कारक या समानता अनुपात हमेशा नकारात्मक होगा।

रचना

जब मूल रूप से एक आंकड़ा प्राप्त करने तक कई आंदोलनों को सफलतापूर्वक किया जाता है, तो आंदोलनों की एक रचना होती है। कई आंदोलनों की संरचना भी एक आंदोलन है।

दो समरूपता के बीच की रचना एक नई समरूपता का परिणाम देती है; अर्थात्, समरूपता का एक उत्पाद है जिसमें केंद्र को दो मूल परिवर्तनों के केंद्र के साथ जोड़ा जाएगा, और अनुपात (के) दो अनुपातों का उत्पाद है।

इस प्रकार, दो homotheties की संरचना एच में ₁ (ओ ₁, k ₁) और एच ₂ (ओ ₂, कश्मीर ₂), उनके अनुपात के गुणन: कश्मीर ₁ xk ₂ = 1 अनुपात कश्मीर के एक homothecy में परिणाम होगा ₃ = k ₁ xk ₂ । इस नए होमोथेसी (O ₃) का केंद्र O ₁ O ₂ रेखा पर स्थित होगा ।

होमोथेसिया एक सपाट और अपरिवर्तनीय परिवर्तन से मेल खाती है; यदि दो समरूपताएं लागू की जाती हैं, जिनमें एक ही केंद्र और अनुपात होता है, लेकिन विभिन्न संकेतों के साथ, मूल आंकड़ा प्राप्त किया जाएगा।

उदाहरण

पहला उदाहरण

बिंदु A से 5 सेंटीमीटर की दूरी पर स्थित केंद्र (O) के दिए गए बहुभुज पर एक होमकोटेसी लागू करें और जिसका अनुपात k = 0.7 है।

उपाय

किसी भी बिंदु को होमोसेसी के केंद्र के रूप में चुना जाता है, और इस बिंदु से किरणें आकृति के कोने के माध्यम से खींची जाती हैं:

केंद्र (O) से बिंदु A तक की दूरी OA = 5 है; इसके साथ, होमोटेटिक पॉइंट्स (OA ') में से किसी एक की दूरी निर्धारित की जा सकती है, यह भी जानते हुए कि k = 0.7:

OA '= kx OA।

OA '= 0.7 x 5 = 3.5।

प्रक्रिया प्रत्येक शीर्ष के लिए की जा सकती है, या होमोटेटिक बहुभुज को यह याद करते हुए भी खींचा जा सकता है कि दो बहुभुज समानांतर हैं:

अंत में, परिवर्तन इस तरह दिखता है:

दूसरा उदाहरण

केंद्र (O) के साथ दिए गए बहुभुज पर एक होमकोटेसी लागू करें, बिंदु C से 8.5 सेमी और जिसका y अनुपात k = -2 है।

उपाय

केंद्र (O) से बिंदु C तक की दूरी OC = 8.5 है; इस डेटा के साथ होमोटेटिक पॉइंट्स (OC ') में से किसी एक की दूरी को निर्धारित करना संभव है, यह भी जानते हुए कि k = -2:

OC '= kx OC।

OC '= -2 x 8.5 = -17

रूपांतरित बहुभुज के कोने के खंडों को खींचने के बाद, हमारे पास यह है कि प्रारंभिक बिंदु और उनके समरूपता केंद्र के संबंध में विपरीत छोर पर स्थित हैं:

संदर्भ

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