पायथागॉरियन पहचान: प्रदर्शन, उदाहरण, अभ्यास - गणित - 2025

पाइथागोरस पहचान कर रहे हैं सभी त्रिकोणमितीय समीकरणों कि कोण के किसी भी मूल्य के लिए पकड़ और पाइथागोरस प्रमेय पर आधारित हैं। पायथागॉरियन पहचान का सबसे प्रसिद्ध मौलिक त्रिकोणमितीय पहचान है:

पाप ² (α) + cos ² (α) = 1

चित्रा 1. पायथागॉरियन त्रिकोणमितीय पहचान।

अगले महत्व में और मैं स्पर्शरेखा और सेकंड की पायथागॉरियन पहचान का उपयोग करता हूं:

टैन ² (α) + 1 = सेक ² (α)

और पाइथागोरस त्रिकोणमितीय पहचान जिसमें कॉटेजेंट और कोसेकेंट शामिल हैं:

1 + Ctg ² (α) = Csc ² (α)

प्रदर्शन

त्रिकोणमितीय अनुपात साइन और कोसाइन को त्रिज्यामितीय वृत्त के रूप में जाना जाता त्रिज्या एक (1) के एक चक्र पर दर्शाया गया है। निर्देशांक ओ के मूल में कहा सर्कल है।

कोणों को Xs के सकारात्मक अर्ध-अक्ष से मापा जाता है, उदाहरण के लिए आकृति 2 में कोण α (नीचे देखें)। यदि कोण सकारात्मक है, तो वामावर्त और नकारात्मक कोण होने पर दक्षिणावर्त।

मूल O और कोण α के साथ किरण खींची जाती है, जो बिंदु P पर पॉइंट सर्कल को इकाई मानती है। P को क्षैतिज रूप से X को इंगित करते हुए क्षैतिज अक्ष X पर अनुमानित किया जाता है। इसी तरह P को लंबवत अक्ष पर लंबवत रूप से पेश किया जाता है। जगह जगह एस।

हमारे पास C पर सही त्रिभुज OCP है।

साइन और कोसाइन

यह याद रखना चाहिए कि त्रिकोणमितीय अनुपात साइन को एक सही त्रिकोण पर निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

त्रिभुज के कोण का साइन, कोण के विपरीत पैर और त्रिभुज के कर्ण के बीच का अनुपात या भागफल है।

आकृति 2 के त्रिभुज OCP पर लागू यह इस तरह दिखेगा:

सेन (α) = सीपी / ओपी

लेकिन सीपी = ओएस और ओपी = 1, ताकि:

सेन (α) = ओएस

जिसका अर्थ है कि वाई अक्ष पर प्रक्षेपण ओएस में प्रदर्शित कोण के साइन के बराबर मूल्य है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि कोण (+1) की साइन का अधिकतम मूल्य α = 90º और न्यूनतम (-1) जब α = -90º या α = 270º होता है।

चित्रा 2. पाइथागोरस प्रमेय और मौलिक त्रिकोणमितीय पहचान के बीच के संबंध को दर्शाने वाला त्रिकोणमितीय चक्र। (खुद का विस्तार)

इसी तरह, कोण का कोसाइन कोण से सटे पैर और त्रिभुज के कर्ण के बीच का भागफल होता है।

आकृति 2 के त्रिभुज OCP पर लागू यह इस तरह दिखेगा:

कॉस (α) = OC / OP

लेकिन ओपी = 1, ताकि:

कॉस (α) = OC

इसका मतलब यह है कि एक्स अक्ष पर प्रक्षेपण ओसी में दिखाए गए कोण के साइन के बराबर मूल्य है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि cosine (+1) का अधिकतम मान α = 0 the या α = 360º होता है, जबकि cosine का न्यूनतम मान (-1) जब α = 180º होता है।

मौलिक पहचान

सी में सही त्रिभुज OCP के लिए, पायथागॉरियन प्रमेय लागू किया जाता है, जिसमें कहा गया है कि पैरों के वर्ग का योग कर्ण के वर्ग के बराबर है:

सीपी ² + ओसी ² = ओपी ²

लेकिन यह पहले ही कहा जा चुका है कि CP = OS = Sen (α), कि OC = Cos (α) और वह OP = 1 है, इसलिए पिछली अभिव्यक्ति को कोण के साइन और कोसाइन के कार्य के रूप में फिर से लिखा जा सकता है:

पाप ² (α) + cos ² (α) = 1

स्पर्शरेखा की धुरी

जिस तरह त्रिकोणमितीय सर्कल में एक्स अक्ष कोसाइन अक्ष और वाई अक्ष साइन अक्ष है, उसी तरह स्पर्शरेखा अक्ष (आकृति 3 देखें) है जो बिंदु पर इकाई सर्कल के लिए स्पर्शरेखा रेखा है निर्देशांक का बी (1, 0)।

यदि आप कोण के स्पर्शरेखा का मान जानना चाहते हैं, तो कोण X के धनात्मक अर्ध-अक्ष से खींचा जाता है, स्पर्शरेखा के अक्ष के कोण का अंतर बिंदु Q को परिभाषित करता है, खंड OQ की लंबाई स्पर्शरेखा है कोण।

ऐसा इसलिए है क्योंकि परिभाषा के अनुसार, कोण α की स्पर्शरेखा आसन्न पैर OB के बीच विपरीत पैर QB है। अर्थात टैन (α) = QB / OB = QB / 1 = QB।

चित्रा 3. स्पर्शरेखा और पाइथागोरस की स्पर्शरेखा की पहचान को दर्शाने वाला त्रिकोणमितीय वृत्त। (खुद का विस्तार)

स्पर्शरेखा की पायथागॉरियन पहचान

स्पर्शरेखा के पायथागॉरियन पहचान को B (चित्र 3) में सही त्रिभुज OBQ पर विचार करके सिद्ध किया जा सकता है। इस त्रिभुज में पायथागॉरियन प्रमेय को लागू करते हुए हमारे पास है कि BQ ² + OB ² = OQ ² । लेकिन यह पहले ही कहा जा चुका है कि बीक्यू = टैन (α), वह ओबी = 1 और वह ओक्यू = सेक (α), ताकि हमारे पास सही त्रिकोण ओबीक्यू के लिए पाइथागोरस समानता में प्रतिस्थापित हो:

टैन ² (α) + 1 = सेक ² (α)।

उदाहरण

जाँच करें कि पायथागॉरियन पहचान पैर एबी = 4 और बीसी = 3 के दाहिने त्रिकोण में पूरी हुई है या नहीं।

समाधान: पैर ज्ञात हैं, कर्ण को निर्धारित करने की आवश्यकता है, जो है:

AC =) (AB ^ 2 + BC ^ 2) = 4 (4 ^ 2 + 3 ^ 2) = 9 (16 + 9) = √ (25) = 5।

कोण ∡BAC को α, ACBAC = α कहा जाएगा। अब त्रिकोणमितीय अनुपात निर्धारित किए जाते हैं:

सेन α = बीसी / एसी = 3/5

कॉस α = एबी / एसी = 4/5

तो α = बीसी / एबी = 3/4

कोटान α = एबी / बीसी = 4/3

सेक α = एसी / एबी = 5/4

Csc α = AC / BC = 5/3

यह मूलभूत त्रिकोणमितीय पहचान से शुरू होता है:

पाप ² (α) + cos ² (α) = 1

(3/5) ^ 2 + (4/5) ^ 2 = 9/25 + 16/25 = (9 +16) / 25 = 25/25 = 1

यह निष्कर्ष निकाला है कि यह पूरा हो गया है।

- पाइथागोरस की अगली पहचान स्पर्शरेखा की है:

टैन ² (α) + 1 = सेक ² (α)

(3/4) ^ 2 + 1 = 9/16 + 16/16 = (9 + 16) / 16 = 25/16 = (5/4) ^ 2

और यह निष्कर्ष निकाला गया है कि स्पर्शरेखा की पहचान सत्यापित है।

- एक समान तरीके से है कि खटिया की:

1 + Ctg ² (α) = Csc ² (α)

1+ (4/3) ^ 2 = 1 + 16/9 = 25/9 = (5/3) ^ 2

यह निष्कर्ष निकाला गया है कि यह भी पूरा हो गया है, जिसके साथ दिए गए त्रिकोण के लिए पायथागॉरियन पहचानों को सत्यापित करने का कार्य पूरा हो गया है।

हल किया हुआ व्यायाम

त्रिकोणमितीय अनुपात और पाइथोगोरियन पहचान की परिभाषाओं के आधार पर, निम्नलिखित पहचानों को सिद्ध करें।

अभ्यास 1

सिद्ध करें कि Cos ² x = (1 + सिन x) (1 - सिन x)।

समाधान: दाईं ओर हम एक द्विपद के गुणन के उल्लेखनीय उत्पाद को इसके संयुग्म द्वारा पहचानते हैं, जैसा कि हम जानते हैं, वर्गों का अंतर है:

कॉस ² एक्स = 1 ² - पाप ² एक्स

फिर दाईं ओर साइन के साथ शब्द बाईं ओर से गुजरता है, जिस पर साइन बदला हुआ है:

कॉस ² एक्स + सेन ² एक्स = 1

यह देखते हुए कि मूलभूत त्रिकोणमितीय पहचान पहुँच गई है, इसलिए यह निष्कर्ष निकाला गया है कि दी गई अभिव्यक्ति एक पहचान है, अर्थात यह x के किसी भी मूल्य के लिए सही है।

व्यायाम २

मौलिक त्रिकोणमितीय पहचान से शुरू होकर त्रिकोणमितीय अनुपात की परिभाषाओं का उपयोग करते हुए, ब्रह्मांड के पाइथोगोरियन पहचान को प्रदर्शित करता है।

समाधान: मूलभूत पहचान है:

पाप ² (x) + कोस ² (x) = 1

दोनों सदस्यों को सेन ² (एक्स) द्वारा विभाजित किया गया है और भाजक को पहले सदस्य में वितरित किया गया है:

पाप ² (x) / पाप ² (x) + कोस ² (x) / पाप ² (x) = 1 / पाप ² (x)

यह सरलीकृत है:

1 + (Cos (x) / सेन (x)) ^ 2 = (1 / Sen (x)) ^ 2

कॉस (x) / सेन (x) = कोटान (x) एक (गैर पायथागॉरियन) पहचान है जो त्रिकोणमितीय अनुपात की बहुत परिभाषा से सत्यापित है। ऐसा ही निम्नलिखित पहचान के साथ होता है: 1 / सेन (x) = Csc (x)।

अंत में आपको निम्न करना होगा:

1 + Ctg ² (x) = Csc ² (x)

संदर्भ

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