रैखिक प्रक्षेप: विधि, हल किए गए व्यायाम - गणित - 2025

रैखिक प्रक्षेप एक तरीका है जिसके सामान्य न्यूटन प्रक्षेप और एक अज्ञात मूल्य दिए गए दो नंबरों के बीच यह है कि के लिए निर्धारित करने के लिए सन्निकटन निकलती है; यह है, एक मध्यवर्ती मान पाया जाता है। यह अनुमानित कार्यों पर भी लागू होता है, जहाँ मान f _(a) और f _(b) ज्ञात होते हैं और हम f _(x) के मध्यवर्ती को जानना चाहते हैं ।

विभिन्न प्रकार के प्रक्षेप होते हैं, जैसे कि रैखिक, द्विघात, घन और उच्च डिग्री, सबसे सरल रेखीय सन्निकटन है। मूल्य जो कि रैखिक प्रक्षेप के साथ भुगतान किया जाना चाहिए, इसका परिणाम उच्च डिग्री के कार्यों का उपयोग करते हुए अनुमानों के समान सटीक नहीं होगा।

परिभाषा

रैखिक प्रक्षेप एक ऐसी प्रक्रिया है जो आपको दो अच्छी तरह से परिभाषित मूल्यों के बीच एक मूल्य को कम करने की अनुमति देती है, जो तालिका या पंक्ति ग्राफ़ में हो सकती है।

उदाहरण के लिए, यदि आप जानते हैं कि 3 लीटर दूध का मूल्य $ 4 है और 5 लीटर का मूल्य $ 7 है, लेकिन आप जानना चाहते हैं कि 4 लीटर दूध का मूल्य क्या है, तो आप उस मध्यवर्ती मूल्य को निर्धारित करने के लिए प्रक्षेपित करते हैं।

तरीका

किसी फ़ंक्शन के मध्यवर्ती मान का अनुमान लगाने के लिए, फ़ंक्शन f _(x) को लाइन r _{(x) के} माध्यम से अनुमानित किया जाता है, जिसका अर्थ है कि फ़ंक्शन «x» के साथ अनुभाग «x = a» और «x = के लिए रैखिक रूप से भिन्न होता है। बी "; अंतराल में (x ₀, x ₁) और (y ₀, y ₁) के मान के लिए, "y" का मान बिंदुओं के बीच की रेखा द्वारा दिया गया है और निम्नलिखित संबंधों द्वारा व्यक्त किया गया है:

(y - y ₀) ÷ (x - x ₀) = (y ₁ - y ₀) ÷ (x ₁ - x ₀)

एक प्रक्षेप रैखिक होने के लिए, प्रक्षेप बहुपद एक डिग्री (n = 1) का होना चाहिए, ताकि यह x _{0 और} x ₁ के मूल्यों को फिट करे _।

रैखिक प्रक्षेप त्रिकोणों की समानता पर आधारित है, इस तरह से कि, पिछली अभिव्यक्ति से ज्यामितीय रूप से व्युत्पन्न, "y" का मूल्य प्राप्त किया जा सकता है, जो "x" के लिए अज्ञात मूल्य का प्रतिनिधित्व करता है।

इस तरह से आपको निम्न करना होगा:

a = tan jac = (विपरीत पैर ₁ ent आसन्न पैर ₁) = (विपरीत पैर ₂ jac आसन्न पैर ₂)

दूसरे तरीके से व्यक्त किया, यह है:

(y - y ₀) ÷ (x - x ₀) = (y ₁ - y ₀) ÷ (x ₁ - x ₀)

«और» भावों के लिए हल, हमारे पास है:

(y - y ₀) _* (x ₁ - x ₀) = (x - x ₀) _* (y ₁ - y ₀)

(y - y ₀) = (y ₁ - y ₀) _*

इस प्रकार, रैखिक प्रक्षेप के लिए सामान्य समीकरण प्राप्त किया जाता है:

y = y _{0 +} (y ₁ - y ₀) _*

सामान्य तौर पर, रैखिक प्रक्षेप वास्तविक फ़ंक्शन के वास्तविक मूल्य पर एक छोटी सी त्रुटि देता है, हालांकि त्रुटि की तुलना में न्यूनतम है यदि आप सहजता से उस संख्या को चुनते हैं जिसे आप खोजना चाहते हैं।

यह त्रुटि तब होती है जब एक सीधी रेखा के साथ वक्र के मूल्य को अनुमानित करने की कोशिश की जाती है; इन मामलों में, सन्निकटन को अधिक सटीक बनाने के लिए अंतराल के आकार को कम किया जाना चाहिए।

सन्निकटन के संबंध में बेहतर परिणामों के लिए, प्रक्षेप करने के लिए डिग्री 2, 3 या उससे अधिक डिग्री के कार्यों का उपयोग करना उचित है। इन मामलों के लिए टेलर प्रमेय एक बहुत ही उपयोगी उपकरण है।

हल किया हुआ व्यायाम

अभ्यास 1

निम्न तालिका में प्रस्तुत किए जाने के बाद एक ऊष्मायन में मौजूद प्रति इकाई मात्रा में बैक्टीरिया की संख्या। आप जानना चाहते हैं कि 3.5 घंटे के लिए बैक्टीरिया की मात्रा क्या है।

उपाय

संदर्भ तालिका एक मान स्थापित नहीं करती है जो 3.5 घंटे के समय के लिए बैक्टीरिया की मात्रा को इंगित करता है, लेकिन क्रमशः 3 और 4 घंटे के समय के लिए ऊपरी और निचले मान हैं। उस तरफ:

x ₀ = 3 और ₀ = 91

x = 3.5 y =?

x ₁ = 4 और ₁ = 135

अब, गणितीय समीकरण को प्रक्षेपित मान ज्ञात करने के लिए लागू किया जाता है, जो निम्नलिखित है:

y = y _{0 +} (y ₁ - y ₀) _* ।

तब संबंधित मान प्रतिस्थापित किए जाते हैं:

y = 91 + (135 - 91) _*

y = 91 + (44) _*

y = 91 + 44 _* 0.5

य = ११३।

इस प्रकार, यह प्राप्त किया जाता है कि 3.5 घंटे के लिए, बैक्टीरिया की संख्या 113 है, जो 3 और 4 घंटे के समय में मौजूद बैक्टीरिया की मात्रा के बीच एक मध्यवर्ती स्तर का प्रतिनिधित्व करता है।

व्यायाम २

लुइस की एक आइसक्रीम फैक्ट्री है, और वह किए गए खर्चों के आधार पर अगस्त में होने वाली आय को निर्धारित करने के लिए एक अध्ययन करना चाहता है। कंपनी का प्रशासक एक ग्राफ बनाता है जो इस रिश्ते को व्यक्त करता है, लेकिन लुइस जानना चाहता है:

अगस्त के लिए आय क्या है, अगर $ 55,000 का खर्च हुआ था?

उपाय

आय और व्यय के मूल्यों के साथ एक ग्राफ दिया जाता है। लुइस जानना चाहता है कि अगस्त के लिए आय क्या है अगर कारखाने में $ 55,000 का खर्च था। यह मान सीधे ग्राफ़ में परिलक्षित नहीं होता है, लेकिन मान इससे अधिक और कम होते हैं।

पहले एक तालिका बनाई गई है जहां आसानी से मूल्यों से संबंधित हैं:

अब, प्रक्षेप सूत्र का उपयोग इस प्रकार y के मान को निर्धारित करने के लिए किया जाता है

y = y _{0 +} (y ₁ - y ₀) _*

तब संबंधित मान प्रतिस्थापित किए जाते हैं:

y = 56,000 + (78,000 - 56,000) _*

y = 56,000 + (22,000) _*

y = 56,000 + (22,000) _* (0.588)

y = 56,000 + 12,936

y = $ 68,936।

अगर $ 55,000 का खर्च अगस्त में किया जाता था, तो आय $ 68,936 थी।

संदर्भ

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