बूलियन बीजगणित: इतिहास, प्रमेय और उदाहरण, उदाहरण - गणित - 2025

बूलियन बीजगणित या बूलियन बीजगणित बीजीय द्विआधारी चर के इलाज के लिए इस्तेमाल अंकन है। यह किसी भी चर के अध्ययन को कवर करता है जिसमें केवल 2 संभावित परिणाम, पूरक और पारस्परिक रूप से अनन्य हैं। उदाहरण के लिए, वैरिएबल जिनकी एकमात्र संभावना सही या गलत है, सही या गलत है, बूलियन बीजगणित के अध्ययन का आधार है।

बूलियन बीजगणित डिजिटल इलेक्ट्रॉनिक्स के आधार का गठन करता है, जो आज इसे काफी वर्तमान बनाता है। यह लॉजिक गेट्स की अवधारणा द्वारा शासित होता है, जहां पारंपरिक बीजगणित में ज्ञात संचालन उल्लेखनीय रूप से प्रभावित होते हैं।

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इतिहास

बूलियन बीजगणित 1854 में अंग्रेजी गणितज्ञ जॉर्ज बोले (1815 - 1864) द्वारा पेश किया गया था, जो उस समय के स्व-शिक्षित विद्वान थे। ऑगस्टस डी मॉर्गन और विलियम हैमिल्टन के बीच मौजूदा विवाद से इस तार्किक प्रणाली को परिभाषित करने वाले मापदंडों के बारे में उनकी चिंता पैदा हुई।

जॉर्ज बोले ने तर्क दिया कि संख्यात्मक मान 0 और 1 की परिभाषा तर्क के क्षेत्र में, क्रमशः नथिंग और यूनिवर्स की व्याख्या के अनुरूप है।

जॉर्ज बूल का इरादा बीजगणित के गुणों के माध्यम से परिभाषित करना था, द्विआधारी प्रकार के चर से निपटने के लिए आवश्यक तर्क तर्क के भाव।

1854 में बूलियन बीजगणित के सबसे महत्वपूर्ण खंडों को पुस्तक में प्रकाशित किया गया था "विचार के कानूनों की जांच जिस पर तर्क और संभावना के गणितीय सिद्धांत आधारित हैं।"

इस जिज्ञासु शीर्षक को बाद में "विचार के नियम" ("विचार के नियम") के रूप में संक्षेपित किया जाएगा। यह शीर्षक उस समय के गणितीय समुदाय से प्राप्त तत्काल ध्यान के कारण प्रसिद्धि के लिए बढ़ा।

1948 में क्लाउड शैनन ने इसे बस्टेबल इलेक्ट्रिकल स्विचिंग सर्किट के डिजाइन पर लागू किया। इसने संपूर्ण इलेक्ट्रॉनिक-डिजिटल योजना के भीतर बुलियन बीजगणित के अनुप्रयोग के लिए एक परिचय के रूप में कार्य किया।

संरचना

इस प्रकार के बीजगणित में प्राथमिक मान 0 और 1 हैं, जो क्रमशः FALSE और TRUE के अनुरूप हैं। बूलियन बीजगणित में मौलिक संचालन 3 हैं:

- ऑपरेशन और संयोजन। एक अवधि (?) द्वारा प्रस्तुत किया गया। उत्पाद का पर्यायवाची।

- ऑपरेशन या डिस्जंक्शन। एक क्रॉस (+) द्वारा प्रस्तुत किया गया। राशि का पर्याय।

- ऑपरेशन या नकार नहीं। उपसर्ग नॉट (नॉट ए) द्वारा प्रस्तुत किया गया। इसे पूरक के रूप में भी जाना जाता है।

यदि एक सेट में आंतरिक संरचना के 2 नियमों को उत्पाद और योग (+) के रूप में निरूपित किया जाता है, तो यह कहा जाता है कि ट्रिपल (A. +) एक बुलियन बीजगणित है और यदि केवल कहा जाता है कि एक जाली होने की शर्त पूरी होती है वितरण।

एक वितरण जाली को परिभाषित करने के लिए, वितरण की शर्तों को दिए गए कार्यों के बीच मिलना चाहिए:

। राशि + ए के संबंध में वितरण योग्य है। (b + c) = (a। b) + (a। c)

+ उत्पाद के संबंध में वितरण योग्य है। a + (b। c) = (a + b)। (ए + सी)

जो तत्व सेट अप A बाइनरी होना चाहिए, इस प्रकार ब्रह्मांड या शून्य मान होने चाहिए।

अनुप्रयोग

इसका मुख्य अनुप्रयोग परिदृश्य डिजिटल शाखा है, जहां यह उन सर्किटों की संरचना करने का कार्य करता है जो इसमें शामिल तार्किक कार्यों को बनाते हैं। प्रक्रियाओं के अनुकूलन के पक्ष में सर्किट सादगी की कला बूलियन बीजगणित के सही अनुप्रयोग और अभ्यास का परिणाम है।

विद्युत पैनलों के विस्तार से, डेटा के संचरण से गुजरते हुए, विभिन्न भाषाओं में प्रोग्रामिंग तक पहुंचने के लिए, हम अक्सर सभी प्रकार के डिजिटल अनुप्रयोगों में बूलियन बीजगणित पा सकते हैं।

प्रोग्रामिंग की संरचना में बूलियन चर बहुत आम हैं। उपयोग की गई प्रोग्रामिंग भाषा के आधार पर, इन चर का उपयोग करने वाले कोड में संरचनात्मक संचालन होगा। प्रत्येक भाषा की शर्त और तर्क प्रक्रियाओं को परिभाषित करने के लिए बूलियन चर मानते हैं।

अभिधारणाएं

ऐसे सिद्धांत हैं जो बूलियन बीजगणित के संरचनात्मक तार्किक कानूनों को नियंत्रित करते हैं। उसी तरह, बाइनरी वेरिएबल्स के विभिन्न संयोजनों में संभावित परिणामों को जानने के लिए पोस्टऑउट हैं, जो ऑपरेशन के आधार पर किया जाता है।

सम (+)

OR ऑपरेटर जिसका तार्किक तत्व संघ (U) है, को द्विआधारी चरों के लिए परिभाषित किया गया है:

० + ० = ०

0 + 1 = 1

१ + ० = १

1 + 1 = 1

उत्पाद (?)

AND ऑपरेटर जिसका तार्किक तत्व प्रतिच्छेदन (is) द्विआधारी चर के लिए निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

0। ० = ०

0। १ = ०

एक । ० = ०

एक । 1 = 1

विपरीत (नहीं)

नहीं ऑपरेटर जिसका तार्किक तत्व पूरक है (X) 'द्विआधारी चर के लिए निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

नहीं 0 = 1

1 = 0 नहीं

पारंपरिक बीजगणित में कई पद अपने समकक्षों से भिन्न हैं। यह चर के डोमेन के कारण है। उदाहरण के लिए, बूलियन बीजगणित (1 + 1) में ब्रह्मांड तत्वों को जोड़ने से 2 का पारंपरिक परिणाम नहीं मिल सकता है, क्योंकि यह बाइनरी सेट के तत्वों से संबंधित नहीं है।

प्रमेयों

शून्य और एकता का नियम

कोई भी सरल ऑपरेशन जिसमें बाइनरी चर के साथ एक तत्व शामिल है, को परिभाषित किया गया है:

0 + ए = ए

1 + ए = 1

0। अ = ०

एक । ए = ए

समान शक्तियाँ या शक्तियाँ

समान चर के बीच के संचालन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

ए + ए = ए

सेवा । ए = ए

पूरक

एक चर और इसके पूरक के बीच किसी भी ऑपरेशन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

A + NOT A = 1

सेवा । ए = 0 नहीं

निगमन या दोहरा नकार

किसी भी दोहरे निषेध को प्राकृतिक चर माना जाएगा।

नहीं (ए नहीं) = ए

विनिमेय

ए + बी = बी + ए; राशि का सामंजस्य।

सेवा । बी = बी। सेवा; उत्पाद की कम्यूटेशन।

जोड़नेवाला

ए + (बी + सी) = (ए + बी) + सी = ए + बी + सी; योग की सहयोगीता।

सेवा । (बी। सी) = (ए बी)। सी = ए। बी सी; उत्पाद संघातकता।

विभाजित करनेवाला

ए + (बी सी) = (ए + बी)। (ए + सी); उत्पाद के संबंध में राशि का वितरण।

सेवा । (बी + सी) = (ए बी) + (ए + सी); राशि के संबंध में उत्पाद की वितरण।

अवशोषण के नियम

कई संदर्भों के बीच कई अवशोषण कानून हैं, जिनमें से कुछ सबसे अच्छे हैं:

सेवा । (ए + बी) = ए

सेवा । (ए + बी नहीं) = ए। बी

ए (ए + बी) = ए नहीं। बी

(ए + बी)। (ए + बी नहीं) = ए

A + A बी = ए

ए + नहीं ए। बी = ए + बी

ए + ए नहीं। बी = ए + बी नहीं

सेवा । बी + ए। बी नहीं = ए

मॉर्गन की प्रमेय

वे परिवर्तन कानून हैं, जो चरों के जोड़े को संभालते हैं जो बूलियन बीजगणित (+) के परिभाषित संचालन के बीच बातचीत करते हैं।

नहीं (ए। बी) = ए + नहीं बी नहीं

नहीं (ए + बी) = ए नहीं। बी नहीं है

A + B = नहीं (A + NOT B नहीं)

सेवा । बी = नहीं (ए नहीं बी नहीं)

द्वंद्व

सभी पदों और प्रमेयों में द्वैत के संकाय होते हैं। इसका तात्पर्य यह है कि चर और संचालन के परिणामस्वरूप परिणामी प्रस्ताव सत्यापित होता है। यही है, जब 1 के लिए 0 और 1 के लिए और या इसके विपरीत या इसके विपरीत; एक अभिव्यक्ति बनाई गई है जो पूरी तरह से मान्य भी होगी।

उदाहरण के लिए यदि पोस्टऑउट लिया जाता है

एक । ० = ०

और द्वैत को लागू किया जाता है

0 + 1 = 1

एक और पूरी तरह से वैध डाक प्राप्त होता है।

कर्णघ मेघ

तार्किक कार्यों को सरल बनाने के लिए कर्णघ मानचित्र बुलियन बीजगणित में प्रयुक्त एक आरेख है। इसमें प्रस्तावक तर्क की सत्य तालिकाओं के समान एक दो आयामी व्यवस्था है। सत्य सारणी के डेटा को सीधे कर्णघट मानचित्र पर कैप्चर किया जा सकता है।

कर्णघ मानचित्र 6 चर तक की प्रक्रियाओं को समायोजित कर सकता है। अधिक संख्या में चर वाले कार्यों के लिए, प्रक्रिया को सरल बनाने के लिए सॉफ्टवेयर के उपयोग की सिफारिश की जाती है।

मौरिस कर्णघ द्वारा 1953 में प्रस्तावित, इसे बूलियन बीजगणित के क्षेत्र में एक निश्चित उपकरण के रूप में स्थापित किया गया था, क्योंकि इसका कार्यान्वयन बूलियन अभिव्यक्तियों को सरल बनाने की आवश्यकता के साथ मानवीय क्षमता को सिंक्रनाइज़ करता है, जो डिजिटल प्रक्रियाओं की तरलता में एक प्रमुख पहलू है।

उदाहरण

बूलियन बीजगणित का उपयोग सर्किट में लॉजिक गेट्स को कम करने के लिए किया जाता है, जहां प्राथमिकता सर्किट की जटिलता या स्तर को अपनी न्यूनतम संभव अभिव्यक्ति में लाना है। यह कम्प्यूटेशनल देरी के कारण है जो प्रत्येक गेट को दबा देता है।

निम्नलिखित उदाहरण में हम बूलियन बीजगणित के प्रमेय और मुद्राओं का उपयोग करके एक तार्किक अभिव्यक्ति के सरलीकरण को इसकी न्यूनतम अभिव्यक्ति के लिए देखेंगे।

नहीं (एबी + ए + बी)। नहीं (A + NOT B)

नहीं। नहीं (ए + नॉट बी); एक सामान्य कारक के साथ फैक्टरिंग ए।

नहीं। नहीं (ए + नॉट बी); प्रमेय द्वारा A + 1 = 1।

नहीं (ए + बी)। नहीं (ए + नॉट बी); प्रमेय ए द्वारा। 1 = ए

(ए नहीं बी नहीं)।;

मॉर्गन के प्रमेय द्वारा नहीं (ए + बी) = ए नहीं। बी नहीं है

(ए नहीं बी नहीं)। (ए। बी।) नहीं; दोहरे नकार प्रमेय द्वारा नहीं (A नहीं) = A

ए नहीं। बी नहीं है। ए नहीं। बी; बीजगणितीय समूहन।

ए नहीं। ए नहीं। बी नहीं है। बी; उत्पाद ए की कम्यूटेशन बी = बी। सेवा

ए नहीं। बी नहीं है। बी; प्रमेय ए द्वारा। ए = ए

ए नहीं। 0; प्रमेय ए द्वारा। ए = 0 नहीं

0; प्रमेय ए द्वारा। ० = ०

सेवा । बी C + NOT A + A बी नहीं है। सी

सेवा । सी। (बी + नॉट बी) + ए नहीं; एक सामान्य कारक के साथ फैक्टरिंग (ए। सी)।

सेवा । सी। (1) + ए नहीं; प्रमेय द्वारा A + NOT A = 1

सेवा । सी + ए नहीं; शून्य प्रमेय और एकता 1 के नियम से। ए = ए

ए + सी नहीं; मॉर्गन के नियम से A + NOT A बी = ए + बी

इस समाधान के लिए, मॉर्गन के कानून को परिभाषित करने के लिए बढ़ाया जाना चाहिए:

नहीं (ए नहीं)। C + NOT A = Not A + C

क्योंकि इन्वॉल्वमेंट के द्वारा NOT (NOT A) = A।

तर्क फ़ंक्शन को सरल बनाएं

ए नहीं। बी नहीं है। नहीं सी + नहीं ए। बी नहीं है। सी + ए नहीं। अपनी न्यूनतम अभिव्यक्ति के लिए नीचे नहीं

ए नहीं। बी नहीं है। (सी नहीं + सी) + ए नहीं। सी नहीं; सामान्य कारक के साथ फैक्टरिंग (ए नहीं नहीं बी)

ए नहीं। बी नहीं है। (१) + ए नहीं। सी नहीं; प्रमेय द्वारा A + NOT A = 1

(NOT A. NOT B) + (NOT A. NOT C); शून्य प्रमेय और एकता 1 के नियम से। ए = ए

ए नहीं (बी नहीं + सी नहीं); एक सामान्य कारक के साथ फैक्टरिंग नहीं

ए नहीं। नहीं (बी। सी); मॉर्गन कानूनों द्वारा नहीं (A B) = A + NOT B नहीं

नहीं मॉर्गन कानूनों से नहीं (ए बी) = नहीं ए + बी नहीं

बोल्ड में 4 विकल्पों में से कोई भी सर्किट के स्तर को कम करने के लिए एक संभावित समाधान का प्रतिनिधित्व करता है

तार्किक फ़ंक्शन को उसके सरलतम रूप में सरल करें

(ए बी। बी। सी। ए। बी। बी। बी। डी। नॉट ए नॉट बी)। सी

(ए। बी। बी। सी। + ए। डी। नहीं + ए नहीं बी)। सी; प्रमेय ए द्वारा। ए = 0 नहीं

(ए। बी। बी। सी। + ० + ए। बी नहीं बी)। सी; प्रमेय ए द्वारा। ० = ०

(ए। बी। बी। सी। + नहीं ए। बी नहीं)। सी; प्रमेय द्वारा ए + 0 = ए

सेवा । बी नहीं है। सी। सी + ए नहीं। बी नहीं है। सी; राशि के संबंध में उत्पाद की वितरण से

सेवा । बी नहीं है। सी + ए नहीं। बी नहीं है। सी; प्रमेय ए द्वारा। ए = ए

बी नहीं है। सी (ए + नॉट ए) ; फैक्टरिंग (सामान्य कारक के साथ बी। सी।) नहीं

बी नहीं है। सी (1); प्रमेय द्वारा A + NOT A = 1

बी नहीं है। सी; शून्य प्रमेय और एकता 1 के नियम से। ए = ए

संदर्भ

1. बूलियन बीजगणित और इसके अनुप्रयोग जे। एल्डन व्हाईटसिट। कॉन्टिनेंटल पब्लिशिंग कंपनी, 1980।
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   एफ थॉमसन लीटन का गणित विभाग और कंप्यूटर विज्ञान और एआई प्रयोगशाला, मैसचूसटेट्स इंस्टीट्यूट ऑफ टेक्नोलॉजी; अकामाई टेक्नोलॉजीज।

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