किसी वृत्त का उत्कीर्ण कोण: परिभाषा, प्रमेय, उदाहरण - गणित - 2025

एक चक्र की खुदा कोण एक वृत्त पर अपने शिखर है और इसके किरणों छेदक या इसे करने के लिए स्पर्श कर रहे हैं कि है। परिणामस्वरूप उत्कीर्ण कोण हमेशा उत्तल या समतल होगा।

चित्र 1 में उनके संबंधित परिधि में उत्कीर्ण कई कोणों का प्रतिनिधित्व किया गया है। कोण verEDF परिधि और इसकी दो किरणों = पर इसकी शीर्ष D होने से उत्कीर्ण है।

समद्विबाहु त्रिभुज में, आधार से सटे कोण समान होते हैं, इसलिए COBCO = αABC = α। दूसरी ओर =COB = 180º - ∠।

त्रिभुज COB के आंतरिक कोणों के योग को ध्यान में रखते हुए, हमारे पास:

α + α + (180º - +) = 180 +

जिससे यह इस प्रकार है कि 2 α = β, या जो समकक्ष है: α = 2/2। यह इस बात से सहमत है कि प्रमेय 1 क्या कहता है: उत्कीर्ण कोण का माप आधा केंद्रीय कोण है, यदि दोनों कोण एक ही जीवा को जोड़ते हैं।

प्रदर्शन 1 बी

चित्र 6. उस α = 2/2 को दिखाने के लिए सहायक निर्माण। स्रोत: जोगेब्रा के साथ एफ।

इस मामले में हमारे पास एक उत्कीर्ण कोण caseABC है, जिसमें वृत्त का केंद्र O कोण के भीतर है।

इस मामले में प्रमेय 1 साबित करने के लिए, सहायक किरण को आकर्षित करें).push ({});

इसी प्रकार, केंद्रीय कोण and ₁ और ad ₂ उक्त किरण के समीप _हैं । इस प्रकार हम शो 1 ए के रूप में एक ही स्थिति है, इसलिए कहा जा सकता है कि α ₂ = β ₂ /2 और अल्फा ₁ = β ₁ /2। के रूप में α = α ₁ + α ₂ और β = β ₁ + β ₂ है इसलिए कि α = α ₁ + α ₂ = β ₁ /2 + β ₂ /2 = (β ₁ + β ₂) / 2 = β / दो।

निष्कर्ष में α = β / 2, जो प्रमेय 1 को पूरा करता है।

- प्रमेय २

चित्र 7. समान माप α के उत्कीर्ण कोण, क्योंकि वे समान चाप A.C को घटाते हैं। स्रोत: जोगेब्रा के साथ एफ।

- प्रमेय ३

समान माप के जीवाओं को जोड़ने वाले उत्कीर्ण कोण समान हैं।

चित्र 8. समान माप के जीवाओं को जोड़ने वाले उत्कीर्ण कोणों का माप बराबर है les। स्रोत: जोगेब्रा के साथ एफ।

उदाहरण

- उदाहरण 1

दिखाएँ कि व्यास को समेटने वाला उत्कीर्ण कोण समकोण है।

उपाय

व्यास से जुड़ा केंद्रीय कोण centralAOB एक विमान कोण है, जिसका माप 180∠ है।

प्रमेय 1 के अनुसार, परिधि में उत्कीर्ण हर कोण, जो एक ही तार (इस मामले में व्यास) को घटाता है, केंद्रीय कोण का माप आधा होता है जो एक ही तार को जोड़ता है, जो हमारे उदाहरण के लिए 180º / 2 / 90º है।

चित्र 9. व्यास में घटने वाला प्रत्येक उत्कीर्ण कोण समकोण है। स्रोत: जोगेब्रा के साथ एफ।

- उदाहरण २

परिधि C से A पर रेखा (BC) स्पर्शरेखा, उत्कीर्ण कोण ACBAC निर्धारित करती है (चित्र 10 देखें)।

सत्यापित करें कि उत्कीर्ण कोणों का प्रमेय 1 पूरा हो गया है।

चित्रा 10. खुदा कोण बीएसी और इसके केंद्रीय उत्तल कोण एओए। स्रोत: जोगेब्रा के साथ एफ।

उपाय

कोण texBAC खुदा हुआ है क्योंकि इसका शीर्ष परिधि पर है, और इसकी भुजाएं [AB] और [AC] परिधि के स्पर्शरेखा हैं, इसलिए उत्कीर्ण कोण की परिभाषा संतुष्ट है।

दूसरी ओर, उत्कीर्ण कोण otherBAC चाप A,A को घटाता है, जो संपूर्ण परिधि है। चाप A TheA को जोड़ने वाला केंद्रीय कोण एक उत्तल कोण है जिसका माप पूर्ण कोण (360º) है।

उत्कीर्ण कोण जो पूरे चाप को जोड़ता है, आधे संबद्ध केंद्रीय कोण को मापता है, अर्थात =BAC = 360º / 2 = 180 2।

उपरोक्त सभी के साथ, यह सत्यापित है कि यह विशेष मामला प्रमेय 1 को पूरा करता है।

संदर्भ

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