अशक्त कोण: परिभाषा और विशेषताएँ, उदाहरण, अभ्यास - गणित - 2025

अशक्त कोण एक जिसका माप 0 है, दोनों डिग्री में और रेडियंस या कोण माप का एक और सिस्टम में है। इसलिए इसमें चौड़ाई या उद्घाटन का अभाव है, जैसे दो समानांतर रेखाओं के बीच का गठन।

यद्यपि इसकी परिभाषा काफी सरल लगती है, लेकिन नल कोण कई भौतिकी और इंजीनियरिंग अनुप्रयोगों में, साथ ही साथ नेविगेशन और डिज़ाइन में बहुत उपयोगी है।

चित्र 1. कार की गति और त्वरण के बीच एक शून्य कोण होता है, इसलिए कार तेज और तेज होती है। स्रोत: विकिमीडिया कॉमन्स

भौतिक मात्रा है कि समानांतर में गठबंधन किया जाना चाहिए कुछ प्रभाव को प्राप्त करने हैं: अगर एक राजमार्ग के साथ और उसके वेग सदिश के बीच एक सीधी रेखा में एक कार चाल वी और उसके त्वरण वेक्टर एक वहाँ 0 º, कार तेजी से और तेजी चाल है, लेकिन अगर कार ब्रेक, इसका त्वरण इसकी गति के विपरीत है (चित्र 1 देखें)।

निम्न आकृति विभिन्न प्रकार के कोण दिखाती है जिसमें नल कोण दाईं ओर है। जैसा कि देखा जा सकता है, 0º कोण में चौड़ाई या उद्घाटन का अभाव है।

चित्र 2. अशक्त प्रकार, अशक्त कोण सहित। स्रोत: विकिमीडिया कॉमन्स Orias।

अशक्त कोणों के उदाहरण

समानांतर रेखाएं एक दूसरे के साथ एक शून्य कोण बनाने के लिए जानी जाती हैं। जब आपके पास एक क्षैतिज रेखा होती है, तो यह कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के एक्स अक्ष के समानांतर होती है, इसलिए इसके संबंध में इसका झुकाव 0. है। दूसरे शब्दों में, क्षैतिज रेखाओं में शून्य ढलान है।

चित्रा 3. क्षैतिज रेखाओं में शून्य ढलान है। स्रोत: एफ। ज़पाटा

इसके अलावा अशक्त कोण के त्रिकोणमितीय अनुपात 0, 1, या अनंत हैं। इसलिए अशक्त कोण कई भौतिक स्थितियों में मौजूद है जिसमें वैक्टर के साथ संचालन शामिल है। ये कारण हैं:

-सीन 0º = 0

—कोस ०º = १

-टीजी 0º = 0

-सेक ०º = १

-कोसेक ०º → º

-ctg 0º → º

और वे उन स्थितियों के कुछ उदाहरणों का विश्लेषण करने के लिए उपयोगी होंगे जिनमें अशक्त कोण की उपस्थिति एक मौलिक भूमिका निभाती है:

- शारीरिक परिमाण पर अशक्त कोण का प्रभाव

वेक्टर जोड़

जब दो वैक्टर समानांतर होते हैं, तो उनके बीच का कोण शून्य होता है, जैसा कि ऊपर चित्र 4a में देखा गया है। इस मामले में, दोनों का योग एक के बाद एक रखकर किया जाता है और सदिश राशि का परिमाण परिशिष्टों के परिमाण (चित्र 4 बी) का योग है।

चित्रा 4. समानांतर वैक्टर के योग, इस मामले में उनके बीच का कोण एक अशक्त कोण है। स्रोत: एफ। ज़पाटा

जब दो वैक्टर समानांतर होते हैं, तो उनके बीच का कोण शून्य होता है, जैसा कि ऊपर चित्र 4a में देखा गया है। इस मामले में, दोनों का योग एक के बाद एक रखकर किया जाता है और सदिश राशि का परिमाण परिशिष्टों के परिमाण का योग है (चित्र 4 ब)

टोक़ या टोक़

टॉर्क या टॉर्क किसी बॉडी के घूमने का कारण बनता है। यह लागू बल के परिमाण पर निर्भर करता है और इसे कैसे लागू किया जाता है। एक बहुत ही प्रतिनिधि उदाहरण आंकड़ा में रिंच है।

सर्वश्रेष्ठ मोड़ प्रभाव के लिए, बल को रिंच हैंडल के लिए लंबवत लागू किया जाता है, या तो ऊपर या नीचे, लेकिन बल के समानांतर होने पर कोई रोटेशन की उम्मीद नहीं की जाती है।

चित्रा 5. जब स्थिति और बल वैक्टर के बीच का कोण शून्य होता है, तो कोई टोक़ उत्पन्न नहीं होता है और इसलिए कोई स्पिन प्रभाव नहीं होता है। स्रोत: एफ। ज़पाटा

गणितीय रूप से टोक़ atically को वेक्टर उत्पाद या वैक्टर आर (स्थिति वेक्टर) और आंकड़ा 5 के एफ (बल वेक्टर) के बीच क्रॉस उत्पाद के रूप में परिभाषित किया गया है:

F = आर एक्स एफ

टोक़ की भयावहता है:

sin = r F पाप θ

And R और F के बीच का कोण होना । जब पाप in = 0 टोक़ शून्य होता है, तो इस मामले में º = 0 or (या 180º) भी होता है।

विद्युत क्षेत्र का प्रवाह

इलेक्ट्रिक फील्ड फ्लक्स एक अदिश मात्रा है जो विद्युत क्षेत्र की तीव्रता के साथ-साथ सतह के उन्मुखीकरण पर निर्भर करता है जिसके माध्यम से यह गुजरता है।

चित्र 6 में क्षेत्र A की एक गोलाकार सतह है जिसके माध्यम से विद्युत क्षेत्र रेखाएँ E पास होती हैं । सतह का उन्मुखीकरण सामान्य वेक्टर एन द्वारा दिया गया है । बाईं ओर फ़ील्ड और सामान्य वेक्टर एक मनमाना तीव्र कोण and बनाते हैं, केंद्र में वे एक दूसरे के साथ एक नल कोण बनाते हैं, और दाईं ओर वे लंबवत होते हैं।

जब ई और एन लंबवत होते हैं, तो फ़ील्ड लाइनें सतह को पार नहीं करती हैं और इसलिए प्रवाह शून्य है, जबकि ई और एन के बीच का कोण शून्य है, लाइनें पूरी तरह से सतह को पार करती हैं।

ग्रीक अक्षर Φ (पढ़ें "फाई") द्वारा विद्युत क्षेत्र के प्रवाह को नकारते हुए, आकृति में समान क्षेत्र के लिए इसकी परिभाषा इस प्रकार है:

N = ई • एन ए

दोनों वैक्टर के बीच का बिंदु डॉट उत्पाद या स्केलर उत्पाद को दर्शाता है, जिसे वैकल्पिक रूप से निम्न प्रकार से परिभाषित किया गया है:

Φ = ई • एन ए = ईकोसो

पत्र के ऊपर बोल्ड और तीर एक वेक्टर और इसकी परिमाण के बीच अंतर करने के लिए संसाधन हैं, जिसे सामान्य अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है। चूंकि cos 0 = 1 है, E और n समानांतर होने पर प्रवाह अधिकतम होता है ।

चित्र 6. विद्युत क्षेत्र का प्रवाह सतह और विद्युत क्षेत्र के बीच अभिविन्यास पर निर्भर करता है। स्रोत: एफ। ज़पाटा

अभ्यास

- अभ्यास 1

एक बिंदु वस्तु X पर दो बल P और Q एक साथ कार्य करते हैं, दोनों बल प्रारंभ में उनके बीच एक कोण act बनाते हैं। परिणामी बल के परिमाण का क्या होता है क्योंकि itude घटकर शून्य हो जाता है?

चित्र 7. किसी निकाय पर कार्य करने वाले दो बलों के बीच का कोण तब तक कम हो जाता है जब तक कि इसे रद्द नहीं कर दिया जाता है, उस स्थिति में परिणामी बल का परिमाण अधिकतम मान प्राप्त कर लेता है। स्रोत: एफ। ज़पाटा

उपाय

परिणामी बल Q + P की भयावहता तब तक धीरे-धीरे बढ़ती है जब तक कि Q और P पूरी तरह से समानांतर न हो जाएं (चित्र 7 सही)।

- व्यायाम २

संकेत दें कि अशक्त कोण निम्नलिखित त्रिकोणमितीय समीकरण का हल है:

उपाय

एक त्रिकोणमितीय समीकरण वह है जिसमें अज्ञात एक त्रिकोणमितीय अनुपात के तर्क का हिस्सा है। प्रस्तावित समीकरण को हल करने के लिए, डबल कोण के कोसाइन के लिए सूत्र का उपयोग करना सुविधाजनक है:

cos 2x = cos ² x - पाप ² x

क्योंकि इस तरह से 2x के बजाय बाईं ओर का तर्क x हो जाता है। इसलिए:

cos ² x - sin ² x = 1 + 4 sin x

दूसरी ओर cos ² x + sin ² x = 1, इसलिए:

cos ² x - sin ² x = cos ² x + sin ² x + 4 sin x

कॉस ² एक्स कैंसेल और अवशेष शब्द:

- पाप ² x = पाप ² x + 4 पाप x → - ² पाप ² x - 4 पापी = 0 → ² पाप ² x + 4 पापी = 0

अब निम्नलिखित परिवर्तनशील परिवर्तन किया जाता है: sinx = u और समीकरण बन जाता है:

2u ² + 4u = 0

2u (यू + 4) = 0

जिनके समाधान हैं: यू = 0 और यू = -4। परिवर्तन को लौटाने से हमें दो संभावनाएँ होंगी: पाप x = 0 और sinx = -4। यह अंतिम समाधान व्यवहार्य नहीं है, क्योंकि किसी भी कोण की साइन -1 और 1 के बीच है, इसलिए हमें पहले विकल्प के साथ छोड़ दिया जाता है:

पाप x = ०

इसलिए x = 0 s एक समाधान है, लेकिन कोई भी कोण जिसका साइन 0 है वह भी काम करता है, जो 180º (º रेडियन), 360ians (2 ians रेडियन) और संबंधित नकारात्मक भी हो सकता है।

त्रिकोणमितीय समीकरण का सबसे सामान्य समाधान है: x = k k जहां k = 0, solution 1, ± 2, the 3,…। k एक पूर्णांक।

संदर्भ

1. बाल्डोर, ए। 2004. त्रिकोणमिति के साथ विमान और अंतरिक्ष ज्यामिति। Publicaciones कल्चरल SA de CV México।
2. फिगेरोआ, डी। (2005)। श्रृंखला: विज्ञान और इंजीनियरिंग के लिए भौतिकी। आयतन 3. कण प्रणाली। डगलस फिगेरोआ (USB) द्वारा संपादित।
3. फिगेरोआ, डी। (2005)। श्रृंखला: विज्ञान और इंजीनियरिंग के लिए भौतिकी। आयतन 5. विद्युत अंतर्क्रिया। डगलस फिगेरोआ (USB) द्वारा संपादित।
4. OnlineMathLearning। कोणों के प्रकार। से पुनर्प्राप्त: onlinemathlearning.com।
5. Zill, D. 2012. बीजगणित, त्रिकोणमिति और विश्लेषणात्मक ज्यामिति। मैकग्रा हिल इंटरमेरिकाना।