- युगपत समीकरण
- विशेषताएँ
- हल किए गए व्यायाम
- पहला व्यायाम
- दूसरा व्यायाम
- तीसरा व्यायाम
- चौथा व्यायाम
- अवलोकन
- संदर्भ
युगपत समीकरण उन समीकरणों कि एक ही समय में पूरा किया जाना चाहिए रहे हैं। इसलिए, एक साथ समीकरणों के लिए आपके पास एक से अधिक समीकरण होना चाहिए।
जब आपके पास दो या दो से अधिक समीकरण होते हैं, जिसमें एक ही समाधान (या समान समाधान) होना चाहिए, तो यह कहा जाता है कि आपके पास समीकरणों की एक प्रणाली है या यह भी कहा जाता है कि आपके पास एक साथ समीकरण हैं।
जब हमारे पास एक साथ समीकरण होते हैं, तो ऐसा हो सकता है कि उनके पास सामान्य समाधान नहीं हैं या उनके पास परिमित मात्रा है या एक अनंत मात्रा है।
युगपत समीकरण
दो अलग-अलग समीकरण Eq1 और Eq2 को देखते हुए, यह निम्नानुसार है कि इन दो समीकरणों की प्रणाली को समकालिक समीकरण कहा जाता है।
समकालिक समीकरण इस बात से संतुष्ट होते हैं कि यदि S Eq1 का हल है तो S भी Eq2 का विलयन है और इसके विपरीत
विशेषताएँ
जब एक साथ समीकरणों की प्रणाली की बात आती है, तो आपके पास 2 समीकरण, 3 समीकरण या एन समीकरण हो सकते हैं।
एक साथ समीकरणों को हल करने के लिए उपयोग की जाने वाली सबसे आम विधियां हैं: प्रतिस्थापन, समकारीकरण, और कमी। क्रैमर के नियम नामक एक अन्य विधि भी है, जो दो से अधिक समकालिक समीकरणों की प्रणालियों के लिए बहुत उपयोगी है।
एक साथ समीकरणों का एक उदाहरण प्रणाली है
Eq1: x + y = 2
E22: 2x-y = 1
यह देखा जा सकता है कि x = 0, y = 2 Eq1 का एक समाधान है लेकिन यह Eq2 का समाधान नहीं है।
दोनों समीकरणों का एकमात्र सामान्य समाधान x = 1, y = 1 है। यही है, x = 1, y = 1 एक साथ समीकरणों की प्रणाली का समाधान है।
हल किए गए व्यायाम
अगला, हम 3 उल्लिखित विधियों के माध्यम से, ऊपर दिखाए गए एक साथ समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए आगे बढ़ते हैं।
पहला व्यायाम
प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके समीकरणों Eq1: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1 समीकरणों की प्रणाली को हल करें।
उपाय
प्रतिस्थापन विधि में समीकरणों में से किसी एक में अज्ञात के लिए हल करना और फिर दूसरे समीकरण में इसे प्रतिस्थापित करना शामिल है। इस विशेष मामले में, हम Eq1 से "y" के लिए हल कर सकते हैं और हम उस y = 2-x को प्राप्त करते हैं।
Eq2 में «y» के इस मूल्य को प्रतिस्थापित करते हुए, हम उस 2x- (2-x) = 1 को प्राप्त करते हैं। इसलिए, हम उस 3x-2 = 1, अर्थात् x = 1 को प्राप्त करते हैं।
फिर, चूंकि x का मान ज्ञात है, इसलिए इसे "y" में प्रतिस्थापित किया गया है और हम उस y = 2-1 = 1 को प्राप्त करते हैं।
इसलिए, एक साथ समीकरण Eq1 और Eq2 की प्रणाली का एकमात्र समाधान x = 1, y = 1 है।
दूसरा व्यायाम
समीकरणों की प्रणाली को हल करें Eq1: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1 मिलान विधि का उपयोग करके।
उपाय
मिलान विधि में समीकरणों में समान अज्ञात के लिए हल करना और फिर परिणामी समीकरणों का मिलान करना शामिल है।
दोनों समीकरणों से "x" के लिए हल करते हुए, हम उस x = 2-y को प्राप्त करते हैं, और वह x = (1 + y) / 2। अब, इन दो समीकरणों को बराबर किया जाता है और हम उस 2-y = (1 + y) / 2 प्राप्त करते हैं, जिससे यह 4-2y = 1 + y का अनुसरण करता है।
अज्ञात "y" को एक ही पक्ष पर समूहित करने से y = 1 का परिणाम मिलता है। अब जब "y" ज्ञात है, तो हम "x" का मान ज्ञात करते हैं। Y = 1 को प्रतिस्थापित करते हुए, हम उस x = 2-1 = 1 को प्राप्त करते हैं।
इसलिए, समीकरण Eq1 और Eq2 के बीच का सामान्य समाधान x = 1, y = 1 है।
तीसरा व्यायाम
कटौती विधि का उपयोग करके समीकरण Eq1: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1 की प्रणाली को हल करें।
उपाय
कटौती विधि में उपयुक्त गुणांक द्वारा दिए गए समीकरणों को गुणा करना शामिल है, ताकि इन समीकरणों को जोड़ने पर चर में से एक को रद्द कर दिया जाए।
इस विशेष उदाहरण में, किसी भी गुणांक द्वारा किसी समीकरण को गुणा करना आवश्यक नहीं है, बस उन्हें जोड़ें। Eq1 प्लस Eq2 को जोड़कर, हम उस 3x = 3 को प्राप्त करते हैं, जिससे हम उस x = 1 को प्राप्त करते हैं।
Eq1 में x = 1 का मूल्यांकन करते समय, हम उस 1 + y = 2 को प्राप्त करते हैं, जिससे यह उस y = 1 का अनुसरण करता है।
इसलिए, x = 1, y = 1 एक साथ Eq1 और Eq2 समीकरणों का एकमात्र समाधान है।
चौथा व्यायाम
एक साथ समीकरण Eq1 की प्रणाली को हल करें: 2x-3y = 8 और Eq2: 4x-3y = 12।
उपाय
इस अभ्यास में, किसी विशेष विधि की आवश्यकता नहीं होती है, इसलिए प्रत्येक पाठक के लिए सबसे आरामदायक विधि को लागू किया जा सकता है।
इस स्थिति में, कमी विधि का उपयोग किया जाएगा। Eq1 को -2 से गुणा करने पर समीकरण Eq3: -4x + 6y = -16 मिलता है। अब, Eq3 और Eq2 को जोड़ने पर हमें वह 3y = -4 मिलता है, इसलिए y = -4 / 3।
अब, Eq1 में y = -4 / 3 का मूल्यांकन करते समय, हम उस 2x-3 (-4/3) = 8 को प्राप्त करते हैं, जहां से 2x + 4 = 8, इसलिए, x = 2।
निष्कर्ष में, एक साथ समीकरण Eq1 और Eq2 की प्रणाली का एकमात्र समाधान x = 2, y = -4 / 3 है।
अवलोकन
इस आलेख में वर्णित विधियों को दो से अधिक एक साथ समीकरणों वाले सिस्टम पर लागू किया जा सकता है।
जितने अधिक समीकरण और जितने अधिक अज्ञात हैं, सिस्टम को हल करने की प्रक्रिया उतनी ही जटिल है।
समीकरणों को हल करने की किसी भी विधि से एक ही समाधान निकलेगा, अर्थात समाधान लागू पद्धति पर निर्भर नहीं करता है।
संदर्भ
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