गिनती की तकनीक: तकनीक, अनुप्रयोग, उदाहरण, अभ्यास - दुदास - 2025

गिनती तकनीक एक सेट के भीतर संभव व्यवस्था या वस्तुओं के कई सेट की संख्या की गणना करने के लिए संभावना के तरीकों की एक श्रृंखला है। इनका उपयोग तब किया जाता है जब बड़ी संख्या में वस्तुओं और / या चरों के कारण खाते मैन्युअल रूप से जटिल हो जाते हैं।

उदाहरण के लिए, इस समस्या का समाधान बहुत सरल है: कल्पना करें कि आपका बॉस आपसे उन नवीनतम उत्पादों को गिनने के लिए कहता है जो अंतिम घंटे में आ गए हैं। इस मामले में आप जा सकते हैं और उत्पादों को एक-एक करके गिन सकते हैं।

हालांकि, कल्पना करें कि समस्या यह है: आपका बॉस आपको गिनने के लिए कहता है कि अंतिम समय में आने वाले लोगों के साथ एक ही प्रकार के 5 उत्पादों के कितने समूह बन सकते हैं। इस मामले में, गणना जटिल है। इस प्रकार की स्थिति के लिए, तथाकथित गिनती तकनीकों का उपयोग किया जाता है।

ये तकनीकें विभिन्न हैं, लेकिन सबसे महत्वपूर्ण दो बुनियादी सिद्धांतों में विभाजित हैं, जो गुणात्मक और योजक हैं; क्रमपरिवर्तन और संयोजन।

गुणक सिद्धांत

अनुप्रयोग

गुणक सिद्धांत, योजक के साथ, गिनती तकनीकों के संचालन को समझने के लिए बुनियादी हैं। गुणक के मामले में, इसमें निम्न शामिल हैं:

आइए एक ऐसी गतिविधि की कल्पना करें जिसमें एक विशिष्ट संख्या में कदम होते हैं (हम कुल को "आर" के रूप में चिह्नित करते हैं), जहां पहला चरण एन 1 तरीके से किया जा सकता है, दूसरा चरण एन 2 में, और चरण "आर" एनआर तरीकों से। इस स्थिति में, इस ऑपरेशन से उत्पन्न आकृतियों की संख्या से गतिविधि को अंजाम दिया जा सकता है: N1 x N2 x ……….xr आकार।

इसीलिए इस सिद्धांत को गुणात्मक कहा जाता है, और इसका तात्पर्य यह है कि गतिविधि को अंजाम देने के लिए आवश्यक कदमों में से प्रत्येक को एक के बाद एक किया जाना चाहिए।

उदाहरण

आइए एक ऐसे व्यक्ति की कल्पना करें जो एक स्कूल बनाना चाहता है। ऐसा करने के लिए, विचार करें कि भवन का आधार दो अलग-अलग तरीकों से बनाया जा सकता है, सीमेंट या कंक्रीट। दीवारों के लिए के रूप में, वे एडोब, सीमेंट या ईंट से बने हो सकते हैं।

छत के लिए, यह सीमेंट या जस्ती शीट से बना हो सकता है। अंत में, अंतिम पेंटिंग केवल एक तरीके से की जा सकती है। जो सवाल उठता है वह निम्न है: स्कूल बनाने के लिए उसके पास कितने तरीके हैं?

सबसे पहले, हम चरणों की संख्या पर विचार करते हैं, जो आधार, दीवारें, छत और पेंट होंगे। कुल में, 4 चरण, इसलिए आर = 4।

निम्‍नलिखित को N की सूची में रखा जाएगा:

N1 = आधार बनाने के तरीके = 2

N2 = दीवारें बनाने के तरीके = 3

N3 = छत बनाने के तरीके = 2

N4 = पेंटिंग के तरीके = 1

इसलिए, ऊपर वर्णित सूत्र का उपयोग करके संभावित आकृतियों की संख्या की गणना की जाएगी:

N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = स्कूल करने के 12 तरीके।

योगात्मक सिद्धांत

अनुप्रयोग

यह सिद्धांत बहुत सरल है, और इसमें यह तथ्य शामिल है कि, एक ही गतिविधि को करने के लिए कई विकल्प होने के मामले में, सभी वैकल्पिक तरीकों को पूरा करने के लिए अलग-अलग संभावित तरीकों का योग होता है।

दूसरे शब्दों में, यदि हम एक गतिविधि को तीन विकल्पों के साथ करना चाहते हैं, जहाँ पहला विकल्प M तरीकों से किया जा सकता है, दूसरा N तरीकों में और अंतिम W तरीकों में किया जा सकता है, तो गतिविधि: M + N + ……… + में की जा सकती है। डब्ल्यू आकार।

उदाहरण

आइए इस बार कल्पना करें कि एक व्यक्ति जो एक टेनिस रैकेट खरीदना चाहता है। ऐसा करने के लिए, आपके पास चुनने के लिए तीन ब्रांड हैं: विल्सन, बेबोलट या हेड।

जब आप स्टोर पर जाते हैं तो आप देखते हैं कि विल्सन रैकेट को दो अलग-अलग आकारों के हैंडल, L2 या L3 के साथ चार अलग-अलग मॉडलों में खरीदा जा सकता है और स्ट्रंग या अनस्ट्रंग किया जा सकता है।

दूसरी ओर, बाबोलट रैकेट में तीन हैंडल (L1, L2 और L3) हैं, दो अलग-अलग मॉडल हैं और यह स्ट्रैंग या अनस्ट्रंग भी हो सकता है।

हेड रैकेट, अपने हिस्से के लिए, केवल एक हैंडल, L2 के साथ दो अलग-अलग मॉडलों में उपलब्ध है और केवल अनस्ट्रंग है। सवाल यह है कि इस व्यक्ति को अपने रैकेट को खरीदने के कितने तरीके हैं?

एम = विल्सन रैकेट का चयन करने के तरीकों की संख्या

एन = एक बाबलाट रैकेट का चयन करने के तरीकों की संख्या

W = हेड रैकेट चुनने के तरीकों की संख्या

हम गुणक सिद्धांत को आगे बढ़ाते हैं:

M = 2 x 4 x 2 = 16 आकार

एन = 3 एक्स 2 एक्स 2 = 12 तरीके

W = 1 x 2 x 1 = 2 तरीके

रैकेट चुनने के लिए M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 तरीके।

यह जानने के लिए कि गुणक सिद्धांत और एडिटिव का उपयोग कब करना है, आपको केवल यह देखना है कि गतिविधि के प्रदर्शन के लिए चरणों की एक श्रृंखला है या नहीं, और यदि कई विकल्प हैं, तो एडिटिव।

क्रमपरिवर्तन

अनुप्रयोग

यह समझने के लिए कि एक क्रमचय क्या है, यह समझाना महत्वपूर्ण है कि एक संयोजन क्या है ताकि आप उन्हें अलग कर सकें और जान सकें कि उनका उपयोग कब करना है।

एक संयोजन तत्वों की एक व्यवस्था होगी जिसमें हम उस स्थिति में रुचि नहीं रखते हैं जो हर एक को मिलती है।

दूसरी ओर, एक क्रमपरिवर्तन, उन तत्वों की एक व्यवस्था होगी जिसमें हम उस स्थिति में रुचि रखते हैं जो उनमें से प्रत्येक पर कब्जा करती है।

चलो अंतर को बेहतर ढंग से समझने के लिए एक उदाहरण देते हैं।

उदाहरण

आइए 35 छात्रों के साथ और निम्न स्थितियों के साथ एक वर्ग की कल्पना करें:

1. शिक्षक चाहता है कि उसके तीन छात्र कक्षा को साफ रखने में मदद करें या जरूरत पड़ने पर अन्य छात्रों को सामग्री सौंप सकें।
2. शिक्षक कक्षा प्रतिनिधियों (एक अध्यक्ष, एक सहायक और एक फाइनेंसर) को नियुक्त करना चाहता है।

समाधान निम्नलिखित होगा:

1. आइए कल्पना करें कि वोट द्वारा, जुआन, मारिया और लुसिया को कक्षा को साफ करने या सामग्री वितरित करने के लिए चुना जाता है। जाहिर है, 35 के संभावित छात्रों में से, तीन के अन्य समूहों का गठन किया जा सकता था।

हमें खुद से निम्नलिखित पूछना चाहिए: क्या प्रत्येक छात्र का क्रम या स्थिति महत्वपूर्ण है जब उनका चयन करें?

यदि हम इसके बारे में सोचते हैं, तो हम देखते हैं कि यह वास्तव में महत्वपूर्ण नहीं है, क्योंकि समूह समान रूप से दो कार्यों का प्रभारी होगा। इस मामले में, यह एक संयोजन है, क्योंकि हम तत्वों की स्थिति में रुचि नहीं रखते हैं।

1. अब आइए कल्पना करें कि जुआन को अध्यक्ष के रूप में मारिया को सहायक के रूप में चुना गया, और लूसिया को फाइनेंसर के रूप में चुना गया।

इस मामले में, क्या ऑर्डर मायने रखता है? उत्तर हां है, क्योंकि अगर हम तत्वों को बदलते हैं, तो परिणाम बदलता है। यही है, अगर जुआन को राष्ट्रपति के रूप में रखने के बजाय, हमने उसे सहायक के रूप में रखा, और मारिया को राष्ट्रपति के रूप में रखा, तो अंतिम परिणाम बदल जाएगा। इस मामले में यह एक क्रमचय है।

एक बार अंतर को समझने के बाद, हम क्रमपरिवर्तन और संयोजन के लिए सूत्र प्राप्त करने जा रहे हैं। हालाँकि, पहले हमें "n!" शब्द को परिभाषित करना चाहिए। (ene factorial), चूंकि इसका उपयोग विभिन्न फॉर्मूलों में किया जाएगा।

n! = 1 से n तक के उत्पाद।

n! = 1 x 2 x 3 x 4 x ………..xn

वास्तविक संख्याओं के साथ इसका उपयोग करना:

10! = 1 x 2 x 3 x 4 x ……… x 10 = 3,628,800

5! = 1 x 2 x 3 x 4 x ……… x 5 = 120

क्रमपरिवर्तन के लिए सूत्र निम्न होगा:

nPr = n! / (nr)!

इसके साथ हम उन व्यवस्थाओं का पता लगा सकते हैं जहां आदेश महत्वपूर्ण है, और जहां n तत्व अलग हैं।

युग्म

अनुप्रयोग

जैसा कि हमने पहले टिप्पणी की है, संयोजन वे व्यवस्थाएं हैं जहां हम तत्वों की स्थिति की परवाह नहीं करते हैं।

इसका सूत्र निम्नलिखित है:

nCr = n! / (nr)! r!

उदाहरण

यदि 14 छात्र हैं जो कक्षा को साफ करने के लिए स्वेच्छा से काम करना चाहते हैं, तो प्रत्येक समूह में 5 लोग होने पर कितने सफाई समूह बन सकते हैं?

इसलिए, समाधान निम्नलिखित होगा:

n = 14, आर = 5

14C5 = 14! / (१४ - ५)! ५! = १४! / ९! ५! = 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9! / 9! 5! = 2002 समूह

हल किया अभ्यास

अभ्यास 1

स्रोत: Pixabay.com

नतालिया को उसकी माँ ने एक किराने की दुकान पर जाने और ठंडा होने के लिए सोडा खरीदने के लिए कहा। जब नतालिया क्लर्क से ड्रिंक के लिए पूछती है, तो वह उसे बताती है कि शीतल पेय के चार स्वाद हैं, तीन प्रकार और तीन आकार।

शीतल पेय का स्वाद हो सकता है: कोला, नींबू, नारंगी और पुदीना।

कोला के प्रकार हो सकते हैं: सामान्य, चीनी मुक्त, कैफीन मुक्त।

आकार हो सकते हैं: छोटे, मध्यम और बड़े।

नतालिया की माँ ने यह नहीं बताया कि वह किस तरह का सॉफ्ट ड्रिंक चाहती थी। नतालिया को ड्रिंक खरीदने के कितने तरीके हैं?

उपाय

एम = आकार और प्रकार संख्या जिसे आप कोला का चयन करते समय चुन सकते हैं।

N = नींबू सोडा का चयन करते समय आकार और प्रकार की संख्या जिसे आप चुन सकते हैं।

डब्ल्यू = आकार और प्रकार की संख्या जिसे आप नारंगी सोडा चुनते समय चुन सकते हैं।

Y = आकार और संख्या जो आप अपने टकसाल सोडा का चयन करते समय चुन सकते हैं।

हम गुणक सिद्धांत को आगे बढ़ाते हैं:

एम = 3 × 3 = 9 तरीके

एन = 3 × 3 = 9 तरीके

डब्ल्यू = 3 × 3 = 9 तरीके

Y = 3 × 3 = 9 तरीके

सोडा का चयन करने के लिए M + N + W + Y = 9 + 9 + 9 + 9 = 36 तरीके।

व्यायाम २

स्रोत: pixabay.com

एक स्पोर्ट्स क्लब बच्चों को स्केट सीखने के लिए नि: शुल्क प्रवेश कार्यशालाओं का विज्ञापन करता है। 20 बच्चे नामांकित हैं, इसलिए दस लोगों के दो समूह उन्हें विभाजित करने का निर्णय लेते हैं ताकि प्रशिक्षक कक्षाओं को अधिक आराम से पढ़ा सकें।

बदले में, वे यह तय करने का निर्णय लेते हैं कि प्रत्येक बच्चा किस समूह में आएगा। एक बच्चा कितने विभिन्न समूहों में प्रवेश कर सकता है?

उपाय

इस मामले में, उत्तर खोजने का तरीका संयोजन तकनीक का उपयोग कर रहा है, जिसका सूत्र था: nCr = n! / (Nr)! R

n = 20 (बच्चों की संख्या)

आर = 10 (समूह आकार)

20C10 = 20! / (२० - १०)! १०! = २०! / १०! १०! = 20 x 19 x 18 x 17 x 16 x 15x 14x 13x 12x 11x 10! / 10! = 184,756 समूह।

संदर्भ

1. जेफरी, आरसी, प्रोबेबिलिटी एंड द आर्ट ऑफ जजमेंट, कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस। (1992)।
2. विलियम फेलर, "एन इंट्रोडक्शन टू प्रोबेबिलिटी थ्योरी एंड इट्स एप्लीकेशंस", (वॉल्यूम 1), तीसरा एड, (1968), विले
3. फिनेटी, ब्रूनो डे (1970)। "तार्किक नींव और व्यक्तिपरक संभावना की माप"। एक्टा साइकोलोजिका।
4. हॉग, रॉबर्ट वी।; क्रेग, एलन; मैककेन, जोसेफ डब्ल्यू (2004)। गणितीय सांख्यिकी का परिचय (6 वां संस्करण)। ऊपरी सैडल नदी: पीयरसन।
5. फ्रेंकलिन, जे (2001) द साइंस ऑफ कॉन्जेक्ट: एविडेंस एंड प्रोबेबिलिटी बिफोर पास्कल, जॉन्स हॉपकिंस यूनिवर्सिटी प्रेस।